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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:19 So 05.12.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo zusammen.
Ich hänge bei folgenden kleinen Aufgaben:
Es sei [mm]Q \in \IR^{mxn}[/mm] mit m>n, wobei die Spalten von Q eine Orthogonalbasis bilden.
Bislang habe ich schon gezeigt, dass [mm] Q^T*Q [/mm] die Einheitsmatrix ist und dass
[mm]||Qx||_2 = \wurzel (x^T*Q^T*Q*x) = \wurzel( x^T*x)= ||x||_2[/mm]
Nun soll ich zeigen:
[mm]||Q^T*x||_2 <=||x||_2[/mm]
Mein Ansatz war der gleiche wie oben, nur leider ist [mm] Q*Q^T [/mm] nicht die Einheitsmatrix.
Hat da jemand eine Idee?
Ferner habe ich zeigen können, dass [mm] ||Q||_2 [/mm] = 1 ist.
Das habe ich mit Hilfe der Definition der induzierten Norm und dem Trick von oben gemacht.
Das klappt aber wiederum nicht für [mm] ||Q^T||_2=1.
[/mm]
Vermutlich läuft das dann analog zum dem, was ich oben gefragt habe.
Dann soll ich noch zeigen für A=QR:
[mm]||R||_2 = \wurzel (||A^T*A||) und ||R^{-1}||_2=\wurzel(||(A^TA)^{-1}||)[/mm]
Hier hab ich bislang noch keinen guten Ansatz gefunden.
Schon mal Danke für Eure Hilfe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:29 Di 07.12.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Morgen!
Mir fehlt jetzt nur noch folgender Beweis:
[mm]||Q^T||_2 = 1. [/mm].
Die anderen beiden Teile habe ich hinbekommen> Hallo zusammen.
Beim ersten Teil nutze ich aus, dass eine orthogonale Matrix P und eine Diagonalmatrix D ex., so dass
[/mm] [mm] Q*Q^T [/mm] = [mm] P^T*D*U[/mm] [mm], wobei D n Einsen und m-n Nullen hat
(EW mit entsprechenden Vielfachheiten).
Beim anderen Beweis fange man rechts mit der Wurzel an und rechne stur durch!
Bis dann!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:17 Di 07.12.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Wurzelpi!
Hat sich erledigt, ich hatte jetzt doch noch eine Idee (siehe meine Antwort). 
Ich möchte dir nur eine kleine Rückmeldung geben. Nicht dass du denkst, es beschäftigt sich keiner mit deinen Aufgaben, weil du keine Antworten mehr bekommst. Ich kriege sie nur nicht hin, da ich von Numerik auch einfach zu wenig Ahnung habe, ansonsten würde ich dir gerne helfen.
Mir ist auch nicht klar, warum
[mm] $\Vert Q^T [/mm] x [mm] \Vert_2 \le \Vert [/mm] x [mm] \Vert_2$
[/mm]
gilt. Vermutlich hängt das damit zusammen, dass [mm] $Q^T$ [/mm] irgendeine Projektion ist, aber ich weiß es einfach nicht.
Liebe Grüße
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:26 Di 07.12.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Wurzelpi!
Es gilt:
[mm] $\Vert Q^T\Vert_2 [/mm] = [mm] \Vert [/mm] Q [mm] \Vert_2 [/mm] = 1$,
und zwar aus dem einfachen folgenden Grund:
Ist [mm] $\lambda\ne [/mm] 0$ ein Eigenwert von $Q^TQ$, dann ist [mm] $\lambda$ [/mm] auch ein Eigenwert von [mm] $QQ^T$. [/mm] Denn sei $x [mm] \ne [/mm] 0$ ein Eigenvektor zum Eigenwert [mm] $\lambda$ [/mm] von $Q^TQ$.
Dann folgt aus
$Q^TQx = [mm] \lambda [/mm] x$,
dass [mm] $Qx\ne [/mm] 0$ gelten muss.
Aus
$QQ^TQx= [mm] Q(\lambda [/mm] x) = [mm] \lambda [/mm] Qx$
folgt, dass $Qx$ ein Eigenvektor von [mm] $QQ^T$ [/mm] zum Eigenwert [mm] $\lambda$ [/mm] ist.
Umgekehrt ist auch jeder von $0$ verschiedene Eigenwert von [mm] $QQ^T$ [/mm] ein Eigenwert von $Q^TQ$.
Daher ist auch der betragsmäßig größte Eigenwert von [mm] $QQ^T$ [/mm] gleich dem betragsmäßig größten Eigenwert von $Q^TQ$ und die Behauptung folgt aus der Definition der Spektralnorm.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:47 Di 07.12.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo Stafan!
Danke für di Antwort.
Ich dachte schon, dass meine Fragen nicht mehr beantwortet werden ;-(!
Deine Antwort ist einleuchtend.
Wenn es Dich interessiert, kann ich Dir auch erklären (Ich Dir!!! - Kommt selten vor) warum [mm]||Q^T*x||_2 <= ||x||_2[/mm].
Das ist so:
[mm](||Q^T*x||_2)^2 = x^T*Q*Q^T*x[/mm].
[mm] Q*Q^T [/mm] ist symmetrisch, also ex. eine orthogonale Matrix P und eine Diagonalmatrix D, so dass [mm] Q*Q^T [/mm] = [mm] P^T*D*P [/mm] ist.
Man sieht schnell, dass die Eigenwerte von [mm] q*Q^T [/mm] 1 (Vielfachheit n, da Q den Rang n hat, und 0 mit Vielfachheit m-n).
Also gilt: D=diag(1,...1,0,...,0)
Damit erhält man:
[mm](||Q^T*x||_2)^2 = x^T*Q*Q^T*x = x^T *P^T*D*P*x = (P*x)^T * D * P * x <= (P*x)^T*P*x = (||Px||_2)^2= (||x||_)^2 [/mm].
So sollte man das in Kurzfassung erklären können.
Ich stelle gleich noch eine Frage ins Numerik-Forum, die eigentlich nicht viel mit Numerik zu tun hat.
Da kannst Du mir bestimmt helfen  !
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