QM: Drehimpulsop. Kugelfunkt. < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:50 Mo 12.01.2009 | | Autor: | Rutzel |
| Aufgabe | Gegeben sind:
Kugelfunktion (normiert): [mm] Y_3^1(\theta,\phi)=-\frac{1}{8}\sqrt{\frac{21}{\pi}}\sin(\theta)(5\cos^5(\theta)-1)e^{i\phi}
[/mm]
Operator: [mm] L_z [/mm] = [mm] -i\hbar\frac{\partial}{\partial\phi}
[/mm]
und
Operator: [mm] L^2 [/mm] = [mm] -\hbar^2[\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta})+\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}]
[/mm]
Berechne:
a)
[mm] L_zY_3^1(\theta,\phi)
[/mm]
b)
[mm] L^2Y_3^1(\theta,\phi)
[/mm]
c)
[mm]
[/mm]
d)
[mm] \sqrt{} [/mm] |
Hallo,
diese Aufgabe sollte einfach (dank Eigenfunktionen der Operatoren) zu lösen sein.
Ich wollte meine Lösungen nur von Euch absichern lassen:
a)
[mm] L_zY_3^1(\theta,\phi) [/mm] = [mm] -\hbar Y_3^1(\theta,\phi)
[/mm]
(normalerweise ist der Eigenwert von [mm] L_z [/mm] ja [mm] m\hbar, [/mm] da aber schon in der Kugelfunktion keine magnetische Quantenzahl auftaucht...)
b)
[mm] L^2Y_3^1(\theta,\phi) [/mm] = [mm] l(l+1)\hbar^2Y_3^1(\theta,\phi)
[/mm]
c)
[mm] [/mm] = [mm] -\hbar
[/mm]
d)
[mm] \sqrt{} [/mm] = [mm] \sqrt{l(l+1)}\hbar
[/mm]
Ist das richtig? (Normalerweise hat man ja immer die Ganze [mm] \Psi-Wellenfunktion, [/mm] und nicht nur den Kugelfunktions-Anteil, da dieser aber hier normiert ist, sollte es keinen Unterschied machen)
Gruß,
Rutzel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:54 Di 13.01.2009 | | Autor: | Rutzel |
hallo
Meine Lösung schreckt evtl. ab, da es so aussieht, als hätte ich alle Rechenschritte weggelassen und würde nun von Euch erwarten, dass ihr alles nochmals nachrechnet.
Tatsächlich habe ich aber nur die Eigenfunktion-Eigenwert "Sachen" benutzt, sodass tatsächlich direkt das Ergebnis, ohne Rechenweg, dortsteht.
Daher müsste nur jemand mit etwas mehr Erfahrung wie ich sagen, ob diese Denkweise und damit das Ergebnis richtig ist. 
Gruß,
Rutzel
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:32 Sa 17.01.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Gegeben sind:
>
> Kugelfunktion (normiert):
> [mm]Y_3^1(\theta,\phi)=-\frac{1}{8}\sqrt{\frac{21}{\pi}}\sin(\theta)(5\cos^5(\theta)-1)e^{i\phi}[/mm]
>
> Operator: [mm]L_z[/mm] = [mm]-i\hbar\frac{\partial}{\partial\phi}[/mm]
>
> und
>
> Operator: [mm]L^2[/mm] =
> [mm]-\hbar^2[\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta})+\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}][/mm]
>
> Berechne:
>
> a)
> [mm]L_zY_3^1(\theta,\phi)[/mm]
>
> b)
> [mm]L^2Y_3^1(\theta,\phi)[/mm]
>
> c)
> [mm][/mm]
>
> d)
> [mm]\sqrt{}[/mm]
> Hallo,
>
> diese Aufgabe sollte einfach (dank Eigenfunktionen der
> Operatoren) zu lösen sein.
>
> Ich wollte meine Lösungen nur von Euch absichern lassen:
>
> a)
> [mm]L_zY_3^1(\theta,\phi)[/mm] = [mm]-\hbar Y_3^1(\theta,\phi)[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> (normalerweise ist der Eigenwert von [mm]L_z[/mm] ja [mm]m\hbar,[/mm] da aber
> schon in der Kugelfunktion keine magnetische Quantenzahl
> auftaucht...)
Da hast du nicht richtig hingeschaut: m ist der obere Index, also 1.
>
> b)
> [mm]L^2Y_3^1(\theta,\phi)[/mm] = [mm]l(l+1)\hbar^2Y_3^1(\theta,\phi)[/mm]
Fast: Setze l=3 ein!
>
> c)
> [mm][/mm] = [mm]-\hbar[/mm]
> d)
> [mm]\sqrt{}[/mm] = [mm]\sqrt{l(l+1)}\hbar[/mm]
Siehe oben!
> Ist das richtig? (Normalerweise hat man ja immer die Ganze
> [mm]\Psi-Wellenfunktion,[/mm] und nicht nur den
> Kugelfunktions-Anteil, da dieser aber hier normiert ist,
> sollte es keinen Unterschied machen)
Die Normierung ist nicht der Punkt, sondern dass die Kugelflächenfunktion die Winkelabhängigkeit vollständig beschreibt. Eine beliebiger Faktor f(r), der nur von r abhängt, ändert nichts am Drehimpuls - das ist in der klassischen Mechanik genauso.
Die Normierung spielt nur insofern eine Rolle, dass der Faktor f(r) normierbar bzw normiert sein sein muss.
Viele Grüße
Rainer
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