Q-Homomorphismus < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:15 Sa 01.01.2005 | | Autor: | MrPink |
Hallo, was stelle ich mir unter einem
stetigen Q-Homomorphismus vor???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:05 Sa 01.01.2005 | | Autor: | Clemens |
Hallo!
Von einem Q-Homomorphismus spricht man, wenn man eine lineare Abbildung f:V --> W hat, wobei V,W Q-Vektorräume sind. D. h. für alle [mm] v_{1},v_{2} \in [/mm] V, [mm] q_{1}, q_{2} \in [/mm] Q gilt:
[mm] f(q_{1}*v_{1} [/mm] + [mm] q_{2}*v_{2}) [/mm] = [mm] q_{1}*f(v_{1}) [/mm] + [mm] q_{2}*f(v_{2})
[/mm]
Eine stetige Abbildung f:V --> W setzt voraus, dass es zwei Metriken [mm] d_{V} [/mm] und [mm] d_{W} [/mm] gibt, so dass für alle v und für alle 0 < e [mm] \in \IR [/mm] ein 0 < d [mm] \in \IR [/mm] existiert, so dass für alle x mit [mm] d_{V}(x,v) [/mm] < d auch [mm] d_{W}(f(x),f(v)) [/mm] < e gilt.
Clemens
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:29 Sa 01.01.2005 | | Autor: | MrPink |
Ich habe nun folgende aufgabe:
Sei f von R -> R ein stetiger Q-Homomorphismus , dann ist f auch ein R-Homorphismus. Ziegen Sie dies.
Hat jemand ne idee ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:54 Sa 01.01.2005 | | Autor: | andreas |
hi
was noch zu zeigen ist, ist, dass für [m] \lambda \in \mathbb{R} [/m] gilt, dass [m] f(\lambda v) = \lambda f(v) [/m]
dafür benötigst du, dass [m] \mathbb{Q} [/m] dicht in [m] \mathbb{R} [/m] liegt, also das für beliebiges [m] x \in \mathbb{R} [/m] eine folge [m] (x_k)_{k \in \mathbb{N}} [/m] in [m] \mathbb{Q}[/m]existiert mit
[m] \lim_{k \to \infty} x_k = x [/m]
und wegen der stetigkeit von $f$ gilt, dass [m] f \left( \lim_{k \to \infty} y_k \right) = \lim_{k \to \infty} f(y_k) [/m] gilt.
du kannst ja deine lösung hier posten.
grüße
andreas
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