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Forum "Lineare Algebra / Vektorrechnung" - Pyramidenstumpf
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Pyramidenstumpf: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:37 Mi 20.07.2005
Autor: PaulPanther2

Hallo,

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hier erstmal die Fragestellung:
In einem kartesischen Koordinatensystem ist ein REchteck ABCD durch die Eckpunkte A ( 6 ; 0 ; 3 )  ,  B ( 6 ; 4 ; 0 ) , C und D festgelegt. Der Punkte C liegt auf der y-Achse.

C und D sollen nun bestimmt werden.

Ok so weit so gut.

Für C kann ich schon mal sagen: C ( 0 ; y ; 0 ) und D ist gänzlich unbekannt.

So nun hab ich mir die geraden BC und AB aufgestellt

[mm] \overrightarrow{BC} [/mm]  =  [mm] \pmat{ 6 \\ 4 \\ 0 } [/mm] + r * [mm] \pmat{ -6 \\ y - 4 \\ 0 } [/mm]

[mm] \overrightarrow{AB} [/mm]  =  [mm] \pmat{ 6 \\ 0 \\ 3 } [/mm] + s * [mm] \pmat{ 0 \\ 4 \\ -3 } [/mm]

Dann ist bekannt das das viereck rechtwinklig ist also stehen die zwei geraden im rechten winkel zueinander.

Dann wollte ich über folgende Gleichung weitergehen:

cos 90° = 0 = | a * b | ( a, b sind Richtungsvektoren der Geraden BC und AB )

allerdings weiss ich nicht wie dieses | a * b | zu berechnen ist wenn man mit vektoren rechnet. Meine aufzeichnungen dazu kann ich nicht finden. Also hänge ich an dieser stelle fest. Kann mir da jemand helfen bitte ?
Bzw stimmt meine idee das so zu berechnen zu überhaupt ?
        
Bezug
Pyramidenstumpf: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:29 Mi 20.07.2005
Autor: statler


> Hallo,
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
> Hier erstmal die Fragestellung:
>  In einem kartesischen Koordinatensystem ist ein REchteck
> ABCD durch die Eckpunkte A ( 6 ; 0 ; 3 )  ,  B ( 6 ; 4 ; 0
> ) , C und D festgelegt. Der Punkte C liegt auf der
> y-Achse.
>  
> C und D sollen nun bestimmt werden.
>  
> Ok so weit so gut.
>
> Für C kann ich schon mal sagen: C ( 0 ; y ; 0 ) und D ist
> gänzlich unbekannt.
>  
> So nun hab ich mir die geraden BC und AB aufgestellt
>  
> [mm]\overrightarrow{BC}[/mm]  =  [mm]\pmat{ 6 \\ 4 \\ 0 }[/mm] + r * [mm]\pmat{ -6 \\ y - 4 \\ 0 }[/mm]
>  
> [mm]\overrightarrow{AB}[/mm]  =  [mm]\pmat{ 6 \\ 0 \\ 3 }[/mm] + s * [mm]\pmat{ 0 \\ 4 \\ -3 }[/mm]
>  

Das ist Stützvektor plus Parameter mal Richtungsvektor, alles völlig OK.

> Dann ist bekannt das das viereck rechtwinklig ist also
> stehen die zwei geraden im rechten winkel zueinander.
>  
> Dann wollte ich über folgende Gleichung weitergehen:
>  
> cos 90° = 0 = | a * b | ( a, b sind Richtungsvektoren der
> Geraden BC und AB )
>  

Genau so isses: Skalarprodukt der Richtungsvektoren muß Null sein.

> allerdings weiss ich nicht wie dieses | a * b | zu
> berechnen ist wenn man mit vektoren rechnet. Meine
> aufzeichnungen dazu kann ich nicht finden. Also hänge ich
> an dieser stelle fest. Kann mir da jemand helfen bitte ?
> Bzw stimmt meine idee das so zu berechnen zu überhaupt ?

Weißt du denn noch, wie das in der Ebene geht, also mit 2 Komponenten? Dann kann man sich vielleicht denken, wie es im Raum ist. Sonst könnte auch ein Blick in eine Formelsammlung weiterhelfen. Oder ich sag's mal in Worten: Man multipliziert die entsprechenden Komponenten und addiert die Produkte. In diesem Fall müßte eine lineare Gleichung für des gesuchte y entstehen.

Hilft es schon, oder soll ich noch mehr tätig werden?
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Pyramidenstumpf: Nächste Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:57 Mi 20.07.2005
Autor: PaulPanther2

Hallo,

danke für die antwort.

Das Skalarprodukt der Richtungsvektoren wäre ja dann eigentlich nur:

0 = ( y  - 4 ) * 4  [ Bei den restlichen Produkten ist der Faktor 0 vorhanden ]

0 = 4y - 16

y = 4

-> C ( 0 ; 4 ; 0 )

So weit so gut.

Wie komme ich jetzt auf D ?
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Pyramidenstumpf: Vektorenaddition
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:08 Mi 20.07.2005
Autor: Roadrunner

Hallo PaulPanther,

zunächst [willkommenmr] !!


> Das Skalarprodukt der Richtungsvektoren wäre ja dann
> eigentlich nur:
>  
> 0 = ( y  - 4 ) * 4  [ Bei den restlichen Produkten ist der
> Faktor 0 vorhanden ]

[daumenhoch]


> -> C ( 0 ; 4 ; 0 )

[daumenhoch]


> Wie komme ich jetzt auf D ?

Setz' doch an den Ortsvektor von $C_$ einfach mal den umgekehrten Vektor [mm] $\overrightarrow{AB}$. [/mm]

Oder aber Du ermitteltst erst [mm] $\overrightarrow{BC}$ [/mm] und setzt diesen an die Spitze des Ortsvektors von $A_$.

Dabei sollte natürlich jeweils dasselbe herauskommen; Du hast hier also eine gute Kontrollmöglichkeit.


Gruß vom
Roadrunner

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Pyramidenstumpf: Fertig
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:44 Mi 20.07.2005
Autor: PaulPanther2

Hallo,

also ich habe fertig ;)

für D hab ich ( 0 ; 0 ; 3 ) rausbekommen.

desweiteren war noch der flächeninhalt zu bestimmen. Dazu hab ich die länge von AB und BC bestimmt und die miteinander multipliziert. A = 30 .

Das wärs danke. Falls irgendwer nachrechnet und einen fehler findet bitte ich drum mal bescheid zu sagen ..

Danke für eure hilfe. Die nächste unklare aufgabe steht aber schon in den startlöchern leider ..
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Pyramidenstumpf: Alles okay ...
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:54 Mi 20.07.2005
Autor: Roadrunner

Hallo PaulPanther!


> für D hab ich ( 0 ; 0 ; 3 ) rausbekommen.

[ok]

  
> desweiteren war noch der flächeninhalt zu bestimmen. Dazu
> hab ich die länge von AB und BC bestimmt und die
> miteinander multipliziert. A = 30 .

[ok]


Gruß vom
Roadrunner

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Pyramidenstumpf: Anregung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:15 Mi 20.07.2005
Autor: statler

Hallo,

versuch mal ein Bild mit A und B, das sagt bekanntlich mehr als 1000 (in Worten: tausend) Worte. Vektorrechnung im R3 ist superanschaulich! Den Hinweis hätte ich gleich geben sollen.

Viel Spaß, wenn es dir wie Schuppen von den Augen fällt.


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