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Pyramidenproblem: etwas für Zahlenfreunde
Status: (Umfrage) Beendete Umfrage Status 
Datum: 17:42 Mi 02.10.2013
Autor: Al-Chwarizmi

Aufgabe
Gesucht sind gerade quadratische Pyramiden, bei welchen
sowohl die Grundkantenlänge a , die Seitenkantenlänge s
als auch der Radius r der umbeschriebenen Kugel ganzzahlig
sind.

a) Suche die kleinsten Werte r, a, s [mm] \in\IN [/mm] , welche zu
   einer solchen Pyramide führen.

b) Suche den kleinstmöglichen Wert von r, welcher zwei
   nicht kongruente Pyramiden dieser Art erlaubt.

Diese Aufgabe ist als Leckerbissen für alle gedacht,
die gerne mit Geometrie und Zahlen spielen.

Auf die Idee zu dieser Aufgabe hat mich diese

      Aufgabe von maximax

gebracht.

LG ,   Al-Chwarizmi

        
Bezug
Pyramidenproblem: Varianten
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:40 Do 03.10.2013
Autor: Al-Chwarizmi

Zu der Aufgabe gäbe es Varianten:

(1)   gleiche Aufgabe, aber mit der zusätzlichen Forderung,
      dass sich der Mittelpunkt der Umkugel innerhalb der
      Pyramide befinden soll
      (zu meiner Schande muss ich gestehen, dass ich zunächst
      überhaupt nur diesen Fall gemeint hatte)

(2)   gleiche Aufgabe, aber mit dem Inkugel- anstelle des
      Umkugel-Radius

LG ,   Al-Chw.

Bezug
        
Bezug
Pyramidenproblem: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:25 Fr 04.10.2013
Autor: Al-Chwarizmi


> Gesucht sind gerade quadratische Pyramiden, bei welchen
> sowohl die Grundkantenlänge a , die Seitenkantenlänge s
> als auch der Radius r der umbeschriebenen Kugel
> ganzzahlig
> sind.
>  
> a) Suche die kleinsten Werte r, a, s [mm]\in\IN[/mm] , welche zu
>    einer solchen Pyramide führen.
>  
> b) Suche den kleinstmöglichen Wert von r, welcher zwei
>    nicht kongruente Pyramiden dieser Art erlaubt.
>    Diese Aufgabe ist als Leckerbissen für alle gedacht,
>    die gerne mit Geometrie und Zahlen spielen.


Hallo,

ich habe mich nun mit diesen Fragen etwas weiter
auseinandergesetzt und dabei verschiedene Methoden
ausprobiert, die möglichen Fälle zu tabellieren.
Schließlich habe ich zuerst gemerkt, dass es wohl
am günstigsten ist, zunächst nur die teilerfremden
Tripel (r,s,a) zu betrachten, denn die übrigen
möglichen Tripel lassen sich dann ja leicht als
Vielfache davon bestimmen, ohne dass man für
jedes einzelne Tripel eine neue Suche anstellt.
Dies verkürzt die Rechenzeit schon ganz deutlich.
Zu einer weiteren drastischen Einsparung an Rechen-
zeit kam ich durch die Beobachtung, dass in der
Liste der teilerfremden Tripel anscheinend (so weit
ich gesucht hatte) alle Radien r Quadratzahlen sind.
Bewiesen habe ich diese Eigenschaft allerdings
(noch) nicht - vielleicht interessiert sich aber
jemand für eine solche Untersuchung.
Dann habe ich natürlich die Suche so umgekrempelt,
dass ich zuallererst die Radien nur die Quadratzahlen
r = [mm] k^2 [/mm]  bis zu einem vorgegebenen [mm] r_{max} [/mm] durchlaufen
lasse. Weiter kann dann s nur die geraden Zahlen
angefangen bei 2 bis maximal [mm] r_{max}-2 [/mm] durchlaufen.
Für jedes damit erzeugte Paar (r,s) berechne ich dann
den Term
             $\ Q:=\ [mm] \frac{s^2*(4\,r^2-s^2)}{2\,r^2}$ [/mm]

Nur falls Q und auch die Quadratwurzel davon sich
als ganzzahlig erweisen, hat man ein neues mögliches
Tripel  (r,s,a) gefunden, indem man  $\ [mm] a:=\sqrt{Q}$ [/mm]  setzt.

Auf diese Weise bin ich dann zur folgenden Tabelle
gelangt:

.   t        r       s       a

.   1)       9       6       8
.   2)      81     126     112
.   3)     121     154     168
.   4)     289      34      48
.   5)     361     646     408
.   6)     729    1242     920
.   7)    1089    1122    1360
.   8)    1089    2046     992
.   9)    1681    1886    2208
.  10)    1849     602     840
.  11)    2601    4794    2632
.  12)    2601    4998    1960
.  13)    3249     798    1120
.  14)    3249    4674    4592
.  15)    3481    4838    4920
.  16)    4489    4154    5208
.  17)    5329   10366    3408
.  18)    6561    2754    3808
.  19)    6889   13114    5688
.  20)    7921   12994   10512
.  21)    9409    9118   11280
.  22)    9801     198     280
.  23)    9801   19206    5432
.  24)   11449   19046   14952
.  25)   12769   11074   14112
.  26)   14641    5566    7728
.  27)   15129   17958   20440
.  28)   15129   29274   10472
.  29)   16641   29154   19888
.  30)   16641   32766    8128
.  31)   17161    8122   11160
.  32)   18769   32606   22848
.  33)   19321   28634   27192
.  34)   23409   27234   31328
.  35)   23409   31518   32960
.  36)   26569   52486   11592
.  37)   29241   24282   31240
.  38)   29241   57114   17368
.  39)   31329   27966   35392
.  40)   31329   56994   33488
.  41)   32041    6086    8568
.  42)   34969   51238   49320
.  43)   34969   56474   47112
.  44)   37249   18914   25872

Die oberste Zeile der Tabelle gibt die Antwort auf die Frage (a)
und gleichzeitig die Lösung für das ursprüngliche Problem
mit der von der Spitze her vertikal durchbohrten Pyramide.

Dabei wird klar, dass der Endpunkt der Bohrung, also der
Umkugel-Mittelpunkt der Pyramide, weit unterhalb der
Grundfläche der Pyramide liegen muss.

Beschränkt man sich in der Tabelle auf jene Pyramiden,
bei welchen dieser Umkugelmittelpunkt innerhalb der
Pyramide liegt, so wird sie natürlich ausgelichtet. Das
kleinste mögliche Tripel ist dann  (r,s,a) = (81,126,112).
Zum selben Radius r=81 kann man dann natürlich eine
andere, nicht kongruente Pyramide herstellen, indem
man (r,s,a) = (81,54,72) wählt, nämlich das mit dem
Faktor 9 multiplizierte Tripel  (9,6,8). Dann haben wir
also eine Kugel mit ganzzahligem Radius, in welche zwei
unterschiedliche gerade quadratische Pyramiden mit
lauter ganzzahligen Kantenlängen einbeschrieben
werden können. Der Radius r=81 ist der kleinste mögliche
für diese Konstellation. Sollen sogar zwei unterschiedliche
Pyramiden in eine Kugel passen, deren Mittelpunkt
innerhalb beider Pyramiden liegt, so müsste man
r=729 wählen. Man merkt natürlich noch, dass hier
die Potenzen von 3 bzw. von 9 eine gewisse Rolle spielen:
[mm] 9=9^13^2 [/mm] , [mm] 81=9^2=3^4 [/mm] , [mm] 729=9^3=3^6 [/mm]

LG ,   Al-Chwarizmi


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