Punktweise Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass [mm] (f_n) [/mm] auf [0,1] punktweise gegen 0 konvergiert.
[mm] f_n(x)=\begin{cases} 4n^2x, & \mbox{für } 0 \le x \le 1/2n \mbox{ } \\ 4n - 4n^2x, & \mbox{für } 1/2n < x \le 1/n\mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } 1/n < x \le 1\mbox{ }\end{cases} [/mm] |
Also ich verstehe nicht, wieso diese Fuktionenfolge punktweise gegen 0 konvergiert. Also bereits auf dem ersten Intervall ist mir das nicht klar. [mm] 4nx^2 [/mm] konvergiert doch gegen unendlich!?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:08 Mi 25.02.2009 | | Autor: | Blech |
> Zeigen Sie, dass [mm](f_n)[/mm] auf [0,1] punktweise gegen 0
> konvergiert.
> [mm]f_n(x)=\begin{cases} 4n^2x, & \mbox{für } 0 \le x \le 1/2n \mbox{ } \\ 4n - 4n^2x, & \mbox{für } 1/2n < x \le 1/n\mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } 1/n < x \le 1\mbox{ }\end{cases}[/mm]
>
> Also ich verstehe nicht, wieso diese Fuktionenfolge
> punktweise gegen 0 konvergiert. Also bereits auf dem ersten
> Intervall ist mir das nicht klar. [mm]4nx^2[/mm] konvergiert doch
> gegen unendlich!?
Ja, aber auf welchem Intervall ist [mm] $f_n(x)=4nx^2$?
[/mm]
Die ersten beiden Fälle konvergieren nicht gegen 0, aber das Intervall, auf dem die Folge ungleich 0 ist, verschwindet, weil 1/n gegen 0 geht. Du sollst jetzt zeigen, daß das formal der punktweisen Konvergenz entspricht.
Ist eine Vorbereitung, um zu zeigen, warum es sinnvoll ist zusätzlich noch die gleichmäßige Konvergenz einzuführen, wo die Folge auf dem ganzen Intervall gleichmäßig (ach nee) gegen den Grenzwert gehen muß, und man nicht einfach die häßlichen Teile wie hier am linken Intervallrand zerquetschen kann.
ciao
Stefan
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Vollständig habe ich es leider noch nicht verstanden. Dass die ersten beiden Intervalle verschwinden, verstehe ich.
Aber wenn ich nun die Definition der punktweisen Konvergenz benutze:
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] [0,1/2n] : [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f_n(x) [/mm] = f(x)
also in dem Fall hier: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} 4n^{2}x [/mm] = 0
Ist dieser Grenzwert gleich 0, weil x gegen 0 geht?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:53 Mi 25.02.2009 | | Autor: | Blech |
> Vollständig habe ich es leider noch nicht verstanden. Dass
> die ersten beiden Intervalle verschwinden, verstehe ich.
> Aber wenn ich nun die Definition der punktweisen
> Konvergenz benutze:
> [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] [0,1/2n] : [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f_n(x)[/mm]
> = f(x)
> also in dem Fall hier: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} 4n^{2}x[/mm]
> = 0
Nein.
Wieso setzt Du [mm] $f_n(x)=4n^2x$?
[/mm]
$ [mm] f_n(x)=\begin{cases} 4n^2x, & \mbox{für } 0 \le x \le 1/2n \mbox{ } \\ 4n - 4n^2x, & \mbox{für } 1/2n < x \le 1/n\mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } 1/n < x \le 1\mbox{ }\end{cases} [/mm] $
Welcher der drei Fälle eintritt, hängt von n ab. Egal wie Du x wählst, wenn Du n groß genug werden läßt, wird immer der dritte Fall eintreten.
Für alle x (wie wählen jetzt einfach mal x=1/100) muß gelten [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f_n(x)=0[/mm] (hier also [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f_n(0.01)=0[/mm]. Gilt [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f_n(0.01)=0[/mm]? Ja, weil für n>100 [mm] $f_n(0.01)=0$.
[/mm]
Bei der Grenzwertbetrachtung ist x fest. Wir wählen uns zuerst ein beliebiges x und schauen dann, ob der Grenzwert für dieses feste x 0 ist.
ciao
Stefan
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