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Punktweise Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:50 Sa 20.05.2006
Autor: blubbel

Aufgabe
Gegeben ist die Funktionenfolge [mm] \{f_n\}_{n\in\IN} [/mm] mit
[mm]f_n(x)=\begin{cases} 0 & |x|\ge{1\over n}\\n^{2/3}(n^2x^2-1) & |x|< {1\over n} \end{cases}[/mm]

Untersuchen Sie die Funktionenfolge auf punktweise Konvergenz.

Wie überprüfe ich die Konvergenz im Punkt x=0?

Muss ich zuerst zuerst x=0 annehmen, wodurch der zweite Fall |x|<1/n zutrifft? Dadurch würde die Folge nicht konvergieren.
Oder kann ich sagen, wenn n gegen unendlich geht, dann trifft der Fall |x|>=1/n zu und die Folge konvergiert gegen 0?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Punktweise Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:59 Sa 20.05.2006
Autor: c.t.

hallo blubbel,  

wenn x=0 gesetzt wird, ist |x|<1/n auch wenn n-> [mm] \infty [/mm] , denn 1/n wird ja nie ganz Null, sondern nur bis auf ein beliebig keines Epsylon


Ist  denn keine Grenzfunktion gegeben?

Bezug
                
Bezug
Punktweise Konvergenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:08 Mo 22.05.2006
Autor: blubbel

Vielen Dank für die schnelle Antwort!

In der weiteren Frage nach der Konvergenz in L1([-1,1]) ist die Grenzfunktion f(x)=0 gegeben, zu der die Funktion auch konvergiert.

Die Funktion konvergiert aber nicht Punktweise, wenn ich dich richtig verstanden habe.

Bezug
        
Bezug
Punktweise Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:46 Mo 22.05.2006
Autor: MatthiasKr

Hallo blubbel,

du hast recht, die funktionenfolge konvergiert nicht punktweise gegen 0, da sie es im nullpunkt nicht tut (sonst ja!).

VG
Matthias

Bezug
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