Punktw. bzw gleichmäßige Knvgz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Konvergiert folgende Funktionsfolge gleichmäßig oder punktweise auf dem Intervall I?
[mm]f_n(x) = x / (1+n^2x^2)[/mm] auf [mm]I = \IR[/mm]. |
Also es gibt ja folgende Konvergenzkriterien:
a) $ [mm] (f_n )_n$ [/mm] konvergiert punktweise gegen $ f : X [mm] \rightarrow \mathbb{R}$ [/mm] , wenn für jedes $ x [mm] \in [/mm] X$ stets $ f (x) = [mm] \lim_{n \to \infty} f_n [/mm] (x)$ gilt.
b) $ [mm] (f_n )_n$ [/mm] konvergiert gleichmäßig gegen $ f: X [mm] \rightarrow \mathbb{R}$ [/mm] , wenn es zu jedem $ [mm] \varepsilon [/mm] > 0$ ein (von $ x$ unabhängiges) $ n [mm] (\varepsilon) \in \mathbb{N}$ [/mm] gibt mit $ [mm] \vert [/mm] f (x) - [mm] f_n [/mm] (x) [mm] \vert [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] für alle $ n [mm] \geq [/mm] n [mm] (\varepsilon)$ [/mm] und alle $ x$ .
Was soll aber bei denen beiden Sachen [mm]f(x)[/mm] sein? Lass ich da einfach das n weg? Würde mich freuen wenn mir jemand einen Hinweis geben könnte, was ich unter a) und b) zu verstehen habe.
Vielen Dank,
Mfg,
Christoph
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:25 Mi 14.01.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Konvergiert folgende Funktionsfolge gleichmäßig oder
> punktweise auf dem Intervall I?
>
> [mm]f_n(x) = x / (1+n^2x^2)[/mm] auf [mm]I = \IR[/mm].
> Also es gibt ja
> folgende Konvergenzkriterien:
> a) [mm](f_n )_n[/mm] konvergiert punktweise gegen [mm]f : X \rightarrow \mathbb{R}[/mm]
> , wenn für jedes [mm]x \in X[/mm] stets [mm]f (x) = \lim_{n \to \infty} f_n (x)[/mm]
> gilt.
>
> b) [mm](f_n )_n[/mm] konvergiert gleichmäßig gegen [mm]f: X \rightarrow \mathbb{R}[/mm]
> , wenn es zu jedem [mm]\varepsilon > 0[/mm] ein (von [mm]x[/mm]
> unabhängiges) [mm]n (\varepsilon) \in \mathbb{N}[/mm] gibt mit
> [mm]\vert f (x) - f_n (x) \vert < \varepsilon[/mm] für alle [mm]n \geq n (\varepsilon)[/mm]
> und alle [mm]x[/mm] .
>
> Was soll aber bei denen beiden Sachen [mm]f(x)[/mm] sein? Lass ich
> da einfach das n weg? Würde mich freuen wenn mir jemand
> einen Hinweis geben könnte, was ich unter a) und b) zu
> verstehen habe.
zur pktw. Konvergenz:
Das [mm] $f_n(0)=0 \to [/mm] 0=:f(0)$ ist klar. Für $x [mm] \in \IR \setminus\{0\}$ [/mm] beliebig, aber fest, gilt mit [mm] $f(x)\,:=\,0$ [/mm] dann
[mm] $$|f_n(x)-f(x)| \le \frac{1}{n|x|} \to 0\;\;\;\text{ bei }n \to \infty\,,$$
[/mm]
da hier $|x| [mm] \,>\, [/mm] 0$ ist. Was bedeutet das?
Zur glm. Kgz.:
Wenn die Fktn.-Folge glm. konvergiert, dann gegen die pktw. Grenzfunktion [mm] $\,f\,$ [/mm] mit [mm] $f(x)\,:=\,0$ [/mm] ($x [mm] \in \IR$).
[/mm]
Daher berechne
[mm] $$(\star)\;\;\;\text{sup}\{|f_n(x)-f(x)|: x \in \IR\}=\text{sup}\{|f_n(x)|: x \in \IR\}\,.$$
[/mm]
(Tipp: Klar ist, dass [mm] $f_n(-x)=-f_n(x)$ [/mm] für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] und $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt, d.h. jede Funktion [mm] $f_n$ [/mm] ist ungerade. Daher gilt [mm] $\text{sup}\{|f_n(x)|: x \in \IR\}=\text{sup}\{f_n(x): x \ge 0\}\,,$ [/mm] unter Beachtung von [mm] $f_n(x) \ge [/mm] 0$ für $x [mm] \ge 0\,.$ [/mm] Weiterer Tipp: Bei den hier vorgelegten Funktionen [mm] $f_n$ [/mm] kann man mithilfe der Differentialrechnung erkennen, dass sie lokale Extremstellen haben. Damit kannst Du Dir klarmachen, dass das obige Supremum aus [mm] $(\star)$ [/mm] sogar ein Maximum ist (indem Du über globale Extremstellen nachdenkst). Damit solltest Du dann die glm. Kgz. Deiner Funktionenfolge erkennen, indem Du erkennst, dass das Supremum aus [mm] $(\star)$ [/mm] bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] gegen $0$ strebt. Wenn ihr die glm. Kgz. nur mit [mm] $\varepsilon-\delta$ [/mm] formuliert habt, dann musst Du noch kurz dazuschreiben, wie das dann genau folgt.)
P.S.:
Falls Du mit Ableitungen noch nicht arbeiten darfst, dann überlege Dir, wieso für jedes $x [mm] \in \IR$
[/mm]
[mm] $$(\star_2)\;\;\;\left|\frac{x}{1+n^2x^2}\right| \le \frac{1}{2n}$$
[/mm]
gilt.
Tipp dazu: Mittels Äquivalenzumformung(en) gelangt man zu der Aussage [mm] $(n|x|-1)^2 \ge [/mm] 0$, welche offensichtlich richtig ist. Aus dieser läßt sich also [mm] $(\star_2)$ [/mm] folgern.
Gruß,
Marcel
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Hallo, erstmal vielen Dank für die Mühe. Kann leider erst jetzt antworten, hatte über den Tag viel zu tun. Leider sehe ich, dass ich wohl große Lücken habe...
Bevor ich deine Fragen versuche zu beantworten, habe ich leider erstmal wieder direkt Fragen dazu:
Was mich am meisten an dieser Aufgabe verwirrt ist, dass sie ja von 2 Variablen abhängt? n und x.
n geht ja gegen unendlich, weil ich quasi eine Folge von Funktionen hier habe? Das erste Folgenglied wäre demnach die Funktion mit n=1, das zweite Folgenglied die Funktion mit n=2 usw...
Gegen was soll aber x gehen? Ist x fest?
Zudem... was bedeutet in diesem Fall [mm]f(x)[/mm]? Ist das das selbe wie [mm]f_1(x)[/mm]?
Also die Notation macht mir noch sehr zu schaffen. Ich hoffe, wenn ich das weiß, kann ich auch deine Fragen beantworten.
Ableitungen haben wir gestern begonnen, also ich denke, ich darf sie dann schon benutzen.
Mfg,
Christoph
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:30 Do 15.01.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo, erstmal vielen Dank für die Mühe. Kann leider erst
> jetzt antworten, hatte über den Tag viel zu tun. Leider
> sehe ich, dass ich wohl große Lücken habe...
>
> Bevor ich deine Fragen versuche zu beantworten, habe ich
> leider erstmal wieder direkt Fragen dazu:
> Was mich am meisten an dieser Aufgabe verwirrt ist, dass
> sie ja von 2 Variablen abhängt? n und x.
jein, das $n$ solltest Du als "Parameter" auffassen. Jede Funktion [mm] $f_n$ [/mm] ist hier eine Funktion [mm] $\IR \to \IR$. [/mm] D.h. in [mm] $f_n(x)$ [/mm] ist das $n$ als feste natürliche Zahl anzusehen und $x$ ist die Variable:
Es ist also
[mm] $\bullet$ $f_1: \IR \to \IR$ [/mm] mit [mm] $f_1(x)=\frac{x}{1+x^2}$
[/mm]
[mm] $\bullet$ $f_2: \IR \to \IR$ [/mm] mit [mm] $f_2(x)=\frac{x}{1+4x^2}$
[/mm]
[mm] $\bullet$ $f_3: \IR \to \IR$ [/mm] mit [mm] $f_1(x)=\frac{x}{1+9x^2}$
[/mm]
.
.
.
[mm] $\bullet$ $f_k: \IR \to \IR$ [/mm] mit [mm] $f_k(x)=\frac{x}{1+k^2x^2}$
[/mm]
.
.
.
Somit erhälst Du ja gerade eine Funktionen-Folge [mm] $(f_n)_{n \in \IN}$. [/mm] Man sagt ja, dass [mm] $(\alpha_n)_{n \in \IN}$ [/mm] eine Funktionen-Folge ist, wenn für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] dann das [mm] $n\,$-te [/mm] Folgenglied [mm] $\alpha_n$ [/mm] eine Funktion ist.
> n geht ja gegen unendlich, weil ich quasi eine Folge von
> Funktionen hier habe? Das erste Folgenglied wäre demnach
> die Funktion mit n=1, das zweite Folgenglied die Funktion
> mit n=2 usw...
>
> Gegen was soll aber x gehen? Ist x fest?
Sagen wir es mal so: Bei der punktweisen Konvergenz solltest Du $x$ als beliebig, aber fest, betrachten. Es geht dann ja um die Konvergenz der Folge [mm] $(f_n(x))_{n \in \IN}$, [/mm] welches (für jedes feste $x$) hier eine Folge in [mm] $\IR$ [/mm] ist. Schau nochmal nach, wann man sagt, dass eine Funktionenfolge [mm] $(f_n)_{n \in \IN}$ [/mm] an der Stelle $x$ konvergiert.
Wenn glm. Kgz. vorliegt, so musst Du, um diese zu beweisen, dann hier eine Abschätzung finden, die von $x$ unabhängig ist (Du solltest also eine Abschätzung der Art
[mm] $$|f_n(x)-f(x)| \le p(n)\;\;\;\text{ für alle }x [/mm] $$
finden, wobei [mm] $(p(n))_{n \in \IN}$ [/mm] eine (von $x$ unabhängige) Nullfolge ist; und dabei ist $f$ die pktw. Grenzfunktion der Funktionenfolge [mm] $(f_n)_{n \in \IN}\,,$ [/mm] sofern pktw. Kgz. vorliegt).
I.A. erhält man meist, wenn man weiß, dass eine Funktionenfolge [mm] $(f_n)_{n \in \IN}$ [/mm] überall (auf dem entsprechenden Definitionsbereich) pktw. konvergiert, damit auch den Kandidaten, gegen den die Funktionenfolge evtl. auch glm. konvergiert (wenn keine pktw. Kgz. vorliegt, erübrigt sich die Frage nach der glm. Kgz. eh, da glm. Kgz. die pktw. Kgz. impliziert).
Es gibt eine schöne Charakterisierung der glm. Kgz., die ich im Prinzip auch schon oben erwähnt habe:
Schau dazu einfach mal in Bemerkung 15.4 aus ![[]](/images/popup.gif) diesem Analysis-Skript.
Um glm. Kgz. nachzuweisen, musst Du quasi eine von $x$ unabhängige, aber durchaus von $n$ abhängige Abschätzung finden; genauer steht das schonmal oben.
> Zudem... was bedeutet in diesem Fall [mm]f(x)[/mm]? Ist das das
> selbe wie [mm]f_1(x)[/mm]?
Nein. Es ist eine allgemein übliche Konvention, dass, wenn man eine Funktionenfolge [mm] $(f_n)_{n \in \IN}$ [/mm] vorliegend hat und diese dann, auf allen Stellen des Definitionsbereiches, auch punktweise konvergiert, man dann die Funktion $f$ durch [mm] $f(x):=\lim_{n \to \infty}f_n(x)$ [/mm] (an allen Stellen $x$ des Definitionsbereiches) definiert. Du könntest die natürlich auch anders nennen, aber das ist naheliegend. Ebenso wäre es bei einer vorliegenden Funktionenfolge [mm] $(g_n)_{n \in \IN}$ [/mm] naheliegend, sofern diese an allen Stellen des Definitionsbereiches pktw. kgt., dann mit $g$ die pktw. Grenzfunktion der Funktionenfolge [mm] $(g_n)_{n \in \IN}$ [/mm] zu bezeichnen.
> Also die Notation macht mir noch sehr zu schaffen. Ich
> hoffe, wenn ich das weiß, kann ich auch deine Fragen
> beantworten.
> Ableitungen haben wir gestern begonnen, also ich denke,
> ich darf sie dann schon benutzen.
Ja okay, allerdings musst Du hier ja quasi mithilfe der Ableitung die Extremstellen berechnen und dann auch begründen, dass die lokale Maximalstelle von [mm] $f_n$ [/mm] auch die globale von [mm] $|f_n|$ [/mm] ist. Warum und wie das geht, dazu siehe nochmal den letzten Beitrag meinerseits bzw. es sei auch nochmal an die Bemerkung aus dem obigen Skriptum erinnert 
Ich mache Dir auch gerne nochmal ein anderes Bsp. vor:
Wir betrachten [mm] $g_n: (-1/2;\;1/2) \to \IR$ [/mm] mit
[mm] $$g_n(x):=\begin{cases} x+x^n, & \mbox{für } 0 \le x < 1/2 \\ x^n, & \mbox{für } -1/2 < x < 0 \end{cases}\,.$$
[/mm]
Ich zeige einfach mal sofort, dass [mm] $(g_n)_{n \in \IN}$ [/mm] glm. kgt. ist:
Dazu definieren wir $g$ auf [mm] $(-1/2;\;1/2)$ [/mm] durch [mm] $g(x):=\begin{cases} x, & \mbox{für } 0 \le x < 1/2 \\ 0, & \mbox{für } -1/2 < x < 0 \end{cases}$
[/mm]
Dann gilt für jedes $x [mm] \in (-1/2;\;1/2)$, [/mm] dass
[mm] $$|g_n(x)-g(x)|=|x^n|=|x|^n [/mm] < [mm] (1/2)^n=\frac{1}{2^n}\,.$$
[/mm]
Daraus erkennst Du:
Ist [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$, so wähle [mm] $N=N_\varepsilon \in \IN$ [/mm] so, dass [mm] $\frac{1}{2^N} [/mm] < [mm] \varepsilon\,.$ [/mm] Dann folgt für alle $n [mm] \ge [/mm] N$, weil dann [mm] $\frac{1}{2^n} \le \frac{1}{2^N}$ [/mm] ist:
[mm] $$|g_n(x)-g(x)| [/mm] < [mm] \frac{1}{2^n} \le \frac{1}{2^N} [/mm] < [mm] \varepsilon$$
[/mm]
für jedes $x [mm] \in (-1/2;\;1/2)\,.$ [/mm] Zu jedem [mm] $\varepsilon$ [/mm] findet man also ein geeignetes [mm] $N=N_\varepsilon\,.$
[/mm]
(P.S.: Meine Bezeichung [mm] $N=N_\varepsilon$ [/mm] meint nichts anderes als [mm] $n(\varepsilon)$ [/mm] in Deiner Definition.)
Gruß,
Marcel
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Wow, vielen Dank für die Antwort! War sehr aufschlussreich.
Ich habe das dann mal für die Übungsaufgabe analog probiert:
[mm]f_n(x) = \frac{x}{1+n^2+x^2}[/mm]
[mm]f(x) := \limes_{n\rightarrow\infty} f_n(x) = 0[/mm].
[mm]|f_n(x) - f(x)| = |f_n(x)| = |\frac{x}{1+n^2+x^2}|[/mm]
EDIT: Ohh.. ganz falsche Schlussfolgerung gehabt.
[mm]|\frac{x}{1+n^2+x^2}| = |\frac{1}{1+n^2+x}|[/mm]
Nun könnte aber sein, dass [mm]x = -(n^2 + 1)[/mm] ist. Mit diesem x wird der Wert davon unendlich groß und ist
damit sicherlich größer als z.B. [mm]\epsilon = 1[/mm].
Somit konvergiert sie nicht gleichmäßig (weil es müsste ja kleiner sein als jedes Epsilon>0 für alle x) und Punktweise Konvergenz ist noch zu zeigen.
Das stimmt dann soweit?
Mfg,
Christoph
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:06 Do 15.01.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Christoph,
> Wow, vielen Dank für die Antwort! War sehr
> aufschlussreich.
>
> Ich habe das dann mal für die Übungsaufgabe analog
> probiert:
> [mm]f_n(x) = \frac{x}{1+n^2+x^2}[/mm]
Achtung: Falsche Funktionenfolge!!! Deine Funktionen [mm] $f_n$ [/mm] lauteten [mm] $f_n(x)=\frac{x}{1+\green{n^2*x^2}}\,,$ [/mm] Du hast anstelle von [mm] $\green{n^2x^2}$ [/mm] fälschlicherweise [mm] $\blue{n^2+x^2}$ [/mm] geschrieben!
> [mm]f(x) := \limes_{n\rightarrow\infty} f_n(x) = 0[/mm].
>
> [mm]|f_n(x) - f(x)| = |f_n(x)| = |\frac{x}{1+n^2+x^2}|[/mm]
>
> EDIT: Ohh.. ganz falsche Schlussfolgerung gehabt.
>
> [mm]|\frac{x}{1+n^2+x^2}| = |\frac{1}{1+n^2+x}|[/mm]
Und was rechnest Du hier???
Also für $n=1$ und $x=2$ würdest Du dort behaupten, dass $2/6=1/4$ sei. Das ist Unfug
Abgesehen davon, dass Deine Funktionenfolge falsch ist.
> Nun könnte aber sein, dass [mm]x = -(n^2 + 1)[/mm] ist. Mit diesem x
> wird der Wert davon unendlich groß und ist
> damit sicherlich größer als z.B. [mm]\epsilon = 1[/mm].
>
> Somit konvergiert sie nicht gleichmäßig (weil es müsste ja
> kleiner sein als jedes Epsilon>0 für alle x) und Punktweise
> Konvergenz ist noch zu zeigen.
>
> Das stimmt dann soweit?
Leider nicht. Die Funktionen [mm] $g_n(x)=x/(1+n^2+x^2)$ [/mm] ($n [mm] \in \IN$) [/mm] scheinen mir - ohne es explizit nachgerechnet zu haben - durchaus auch glm. gegen $g(x) [mm] \equiv [/mm] 0$ zu konvergieren. Deine Begründung oben stimmt jedenfalls sicherlich nicht, weil Deine Umformung oben nicht stimmt.
(Und würde man die Funktionenfolge [mm] $h_n(x):=1/(1+n^2+x)$ [/mm] betrachten, so hätten wir auch ein Problem, denn an der Stelle [mm] $x=-(n^2+1)$ [/mm] wäre diese nochmal explizit zu definieren (mit der Gleichung [mm] $h_n(x)=1/(1+n^2+x)$ [/mm] wäre jedes [mm] $h_n$ [/mm] nicht auf [mm] $\IR$, [/mm] sondern nur auf [mm] $\IR \setminus\{-1-n^2\}$ [/mm] definiert!)...)
Kommen wir aber nochmal zurück zu Deiner Aufgabe:
Du hattest [mm] $f_n(x)=x/(1+n^2*x^2)$ [/mm] zu untersuchen. Ich hatte Dir doch schon einen Tipp gegeben (mithilfe der Differentialrechnung erkennt man allerdings besser, wie ich zu dem Tipp gelangt bin):
Mein Tipp von oben lautet, etwas anders formuliert:
Begründe, dass [mm] $|f_n(x)| \le f_n(1/n)$ [/mm] für jedes $x [mm] \in \IR$ [/mm] gilt. Dass ich diesen Tipp schonmal gegeben hatte, erkennst Du, wenn Du kurz nachrechnest:
[mm] $$f_n(1/n)=\frac{1}{2n}\,.$$
[/mm]
Alleine mit diesem Tipp erkennst Du, dass [mm] $(f_n)_{n \in \IN}$ [/mm] glm. gegen $f$ (definiert durch $f(x):=0$ ($x [mm] \in \IR$)) [/mm] konvergiert.
Gruß,
Marcel
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