Punktsymmetrie zum Wendepunkt < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:31 Mi 08.12.2004 | | Autor: | Daox |
Hallo!
Ich möchte einen Nachweis für die Punktsymmetrie zum Wendepunkt einer logistischen Wachstumsfunktion f(x)= [mm] \bruch{2}{1+e^{2-x}} [/mm] zustandebringen, scheitere jedoch daran.
Das Kriterium ist ja für den Punkt W(x0;f(x0)) -(f(x+x0)-f(x0))=f(-x+x0)+f(x0)
e.kandrai hat mich darauf aufmerksam gemacht, dass die Bedingung -(f(x+x0)-f(x0))=f(-x+x0)-f(x0) lauten muss
Hier also die linke Seite Schritt für Schritt:
f(x+2)= [mm] \bruch{2}{1+e^{2-(x+2)}} [/mm] = [mm] \bruch{2}{1+e^{-x}} [/mm]
f(x+2)-1= [mm] \bruch{2}{1+e^{-x}} [/mm] - 1 = [mm] \bruch{2-(1+e^{-x})}{1+e^{-x}} [/mm] = [mm] \bruch{1-e^{-x}}{1+e^{-x}}
[/mm]
-(f(x+2)-1)= [mm] \bruch{2}{1+e^{-x} - 1} [/mm] = [mm] -(\bruch{1-e^{-x}}{1+e^{-x}})
[/mm]
und die rechte Seite:
f(-x+2)= [mm] \bruch{2}{1+e^{2-(-x+2)}} [/mm] = [mm] \bruch{2}{1+e^{x}} [/mm]
f(-x+2) -1 = [mm] \bruch{2}{1+e^{x}} [/mm] -1 = [mm] \bruch{2-(1+e^{x})}{1+e^{x}} [/mm] = [mm] \bruch{1-e^{x}}{1+e^{x}}
[/mm]
Naja, das gleicht sich ja nicht gerade...
Kann mir jemand helfen, oder auf meine(n) Fehler aufmerksam machen?
Danke
Sorry für die anfänglisch falsche Formelanwendung und danke für die Antwort
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:59 Mi 08.12.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Ich fürchte, so wird deine Aufgabe kaum jemand beantworten... Sie ist nicht wirklich leserlich. Du brauchst einfach nur die runden Klammern z. B. bei Exponenten durch geschweifte {} zu erstetzen, dann müsste es besser gehen.
Viele Grüße
Hallo Daox!
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Aus diesem Grund empfiehlt das Projektteam, die Beantwortung Deiner Frage nur noch Interessierten zu überlassen, damit unsere hilfsbereiten Mitglieder nicht durch deine Regelverstösse verärgert werden.
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Artikel unleserlich -- bitte Formelsystem benutzen
Wir bieten ein einfach zu benutzendes Formelsystem an, dass jedem erlaubt, lesbare Formeln zu schreiben. Damit nicht viele Leute rätseln müssen, wie genau deine Formeln lauten, bitten wir dich, sie mit unserem Formelsystem zu setzen.
Bitte bessere deine Frage nach.
Stellvertretend für die hilfsbereiten Mitglieder und das Projektteam[mm] \n,
[/mm]
Bastiane
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Schade, mit dieser Antwort werde ich mein Sternchen-Konto nicht aufbessern können 
Trotzdem: man sieht auch ohne Formeleditor, dass irgendwas an deinen Symmetrie-Kriterium nicht ganz stimmen kann; zumindest konnte ich deine Version nicht so umformen, dass sie mit der Version übereinstimmt, die ich kenne.
Nun ja: wenn man bei einer Funktion eine Symmetrie bezüglich eines Punktes [mm]S(x_s/y_s)[/mm] vermutet, dann heißt das zu prüfende Kriterium:
[mm]f(x_s-h)+f(x_s+h)=2 \cdot y_s[/mm]
Diese Version funktioniert auch, wenn die Funktion an der Stelle [mm]x_s[/mm] gar nicht definiert ist (wie bei [mm]f(x)=\bruch{1}{x}[/mm] mit Symmetrie bzgl. [mm]S(0/0)[/mm]).
Hier vermuten wir Symmetrie bzgl. [mm]S(2/1)[/mm], also müsste gelten:
[mm]f(2-h)+f(2+h)=2 \cdot 1[/mm]
Jetzt kannst du einfach alles in die linke Seite einsetzen, auflösen (Hinweis: Hauptnenner finden, und am Schluß ausklammern & kürzen), und es wird 2 übrigbleiben, so wie's das Kriterium verlangt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:39 Mi 08.12.2004 | | Autor: | Daox |
Alles klar, es hat Klick gemacht und bin auf die Lösung gekommen. Danke für die Antwort.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:51 So 12.12.2004 | | Autor: | dominik |
Hallo!
Bei einer Punktsymmetrie besteht auch die Möglichkeit, den Grafen der Funktion so zu verschieben - und die Gleichung entsprechend anzupassen -, dass der Symmetriepunkt in den Nullpunkt zu liegen kommt. Anschliessend wird die Symmetrie zum Nullpunkt nachgewiesen.
Also:
y= [mm] \bruch{2}{1+e^{2-x}}; [/mm] WP(2/1)
Der Graf der Funktion wird jetzt um zwei Einheiten nach links und um eine Einheit nach unten verschoben. Damit liegt der Wendepunkt im Nullpunkt
("neue" Funktionsgleichung y*):
y*+1 = [mm] \bruch{2}{1+e^{2-(x+2)}} \gdw [/mm]
y* = [mm] \bruch{2}{1+e^{-x}}-1 [/mm] = [mm] \bruch{2-1-e^{-x}}{1+e^{-x}} [/mm] = [mm] \bruch{1-e^{-x}}{1+e^{-x}} [/mm] = [mm] \bruch{1- \bruch{1}{e^{x}}}{1+\bruch{1}{e^{x}}} [/mm] = [mm] \bruch{e^{x}-1}{e^{x}+1}
[/mm]
Symmetrie zum Nullpunkt, also zum Wendepunkt: -f(-x) = f(x):
-y* = [mm] \bruch{e^{-x}-1}{e^{-x}+1} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{1}{e^{x}}-1}{\bruch{1}{e^{x}}+1} [/mm] = [mm] \bruch{1-e^{x}}{1+e^{x}} [/mm]
y* = [mm] -\bruch{1-e^{x}}{1+e^{x}} [/mm] = [mm] \bruch{-1+e^{x}}{1+e^{x}}
[/mm]
Beide Gleichungen y* stimmen überein
Bei einer Achsensymmetrie kann man analog vorgehen, nur braucht man den Grafen lediglich waagrecht so zu verschieben, dass die Symmetrieachse auf der y-Achse liegt.
Jetzt weist man die Symmetrie zur y-Achse nach: f(-x) = f(x)
Friedlicher vierter Adventssonntag!
dominik
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:48 So 12.12.2004 | | Autor: | Daox |
Also daran hatte ich auch schon gedacht, und @ e.kandrai: man kann die von mir vorgeschlagene und von dominik angewandte Methode zu deiner umformen.
Hat nur länger gedauert, bis ich draufgekommen bin...:
f(x+h)+f(x-h)=2f(x)
f(x+h)-f(x)=-f(x-h)+f(x)
f(x+h)-f(x)=-(f(x-h)-f(x))
Damit hatte ich es anfangs auch versucht, nur war ich mir unsicher, ob man $ [mm] \bruch{1- \bruch{1}{e^{x}}}{1+\bruch{1}{e^{x}}} [/mm] $ zu $ [mm] \bruch{e^{x}-1}{e^{x}+1} [/mm] $ umformen kann, da es ja eine Summe ist. Aber da die Kriterien im Grunde ja äquvalent sind, muss es ja auch mit beiden nachweisbar sein.
Danke euch beiden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:01 So 12.12.2004 | | Autor: | e.kandrai |
Tja, so geht's schon, aber wenn du dir nochmal deine erste Formel anschaust: die sah etwas anders aus. Bei der alten Formel hätte sich das "+f(x0)" auf beiden Seiten weggehoben.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:19 Mo 13.12.2004 | | Autor: | Daox |
Hoppla, das war ein Tippfehler, den ich nicht bemerkt habe;
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:23 So 12.12.2004 | | Autor: | Daox |
Nur um zu sehen, ob ich die Umformung von [mm] \bruch{1- \bruch{1}{e^{x}}}{1+\bruch{1}{e^{x}}} [/mm] = [mm] \bruch{e^{x}-1}{e^{x}+1} [/mm] kapiert habe...
[mm] \bruch{1- \bruch{1}{e^{x}}}{1+\bruch{1}{e^{x}}} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{e^{x}}{e^{x}}- \bruch{1}{e^{x}}}{\bruch{e^{x}}{e^{x}} +\bruch{1}{e^{x}}} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{e^{x}-1}{e^{x}}}{\bruch{e^{x}+1}{e^{x}}} [/mm] = [mm] \bruch{e^{x}-1}{e^{x}} [/mm] * [mm] \bruch{e^{x}}{e^{x}+1} [/mm] = [mm] \bruch{e^{x}-1}{e^{x}+1}
[/mm]
So rischtisch?
Gottchen, wird ganz schön wirr mit den ganzen Brüchen und Klammern...
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Bleibt mir nicht viel mehr als zu sagen, dass du es wohl verstanden hast ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
liebe Grüße
Ulrike
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