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| Aufgabe | | Beweise die Punktsymmetrie eines Polynoms 3. Grades |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Mein Ansatz war zu beginn:
[mm] f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d
[/mm]
Zu Beweisen gilt: f(x) = - f(-x)
Wenn das Symmetriezentrum (Wendepunkt) sich exakt bei den Koordinaten (0;0) befindet. Wäre es damit bereits getan. Jedoch kann sich ein Polynom 3. Grades überall im Koordinatensystem befinden.
Daher:
[mm] f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d
[/mm]
[mm] f'(x)=3ax^{2}+2bx+c
[/mm]
f''(x)=6ax+2b
[mm] x_{1}=Stelle [/mm] x des Wendepunkts
[mm] f(x_{1})=y_{1} [/mm] = Stelle y des Wendepunkts
Auf [mm] x_{1} [/mm] kommt man indem man die 2. Ableitung gleich Null setzt:
f''(x)=0
0=6ax+2b
[mm] x_{1}=-\bruch{b}{3a}
[/mm]
Nun setzt man [mm] x_{1} [/mm] in f(x) ein:
[mm] f(x_{1})=\bruch{2b^3}{27a^2}-\bruch{bc}{3a}+d [/mm] (Fertig ausmultipliziert und umgeformt)
[mm] y_{1}=\bruch{2b^3}{27a^2}-\bruch{bc}{3a}+d
[/mm]
Sooo ich weiß jetzt wo genau sich mein Symmetriezentrum (Wendepunkt) befindet.
Doch jetzt möchte ich f(x) so verschieben das die Koordinaten des Symmetriezentrums sich bei (0;0) wieder befinden.
Erst dann ist f(x) = - f(-x) ... ihr werdet mich sicherlich für dumm halten ^^ aber ich komme gerade einfach nicht darauf!!!!! :S (zu Blind xD)
Wie schließe ich mein Beweis jetzt ab? Hilfe!
Vielen Dank im Vorraus
lg DerBlinde
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> Beweise die Punktsymmetrie eines Polynoms 3. Grades
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
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> Mein Ansatz war zu beginn:
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> [mm]f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d[/mm]
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> Zu Beweisen gilt: f(x) = - f(-x)
>
> Wenn das Symmetriezentrum (Wendepunkt) sich exakt bei den
> Koordinaten (0;0) befindet. Wäre es damit bereits getan.
> Jedoch kann sich ein Polynom 3. Grades überall im
> Koordinatensystem befinden.
>
> Daher:
>
> [mm]f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d[/mm]
> [mm]f'(x)=3ax^{2}+2bx+c[/mm]
> f''(x)=6ax+2b
>
> [mm]x_{1}=Stelle[/mm] x des Wendepunkts
> [mm]f(x_{1})=y_{1}[/mm] = Stelle y des Wendepunkts
>
> Auf [mm]x_{1}[/mm] kommt man indem man die 2. Ableitung gleich Null
> setzt:
>
> f''(x)=0
> 0=6ax+2b
> [mm]x_{1}=-\bruch{b}{3a}[/mm]
>
> Nun setzt man [mm]x_{1}[/mm] in f(x) ein:
>
> [mm]f(x_{1})=\bruch{2b^3}{27a^2}-\bruch{bc}{3a}+d[/mm] (Fertig
> ausmultipliziert und umgeformt)
>
> [mm]y_{1}=\bruch{2b^3}{27a^2}-\bruch{bc}{3a}+d[/mm]
>
> Sooo ich weiß jetzt wo genau sich mein Symmetriezentrum
> (Wendepunkt) befindet.
>
> Doch jetzt möchte ich f(x) so verschieben das die
> Koordinaten des Symmetriezentrums sich bei (0;0) wieder
> befinden.
> Erst dann ist f(x) = - f(-x) ... ihr werdet mich
> sicherlich für dumm halten ^^ aber ich komme gerade einfach
> nicht darauf!!!!! :S (zu Blind xD)
> Wie schließe ich mein Beweis jetzt ab? Hilfe!
>
>
> Vielen Dank im Vorraus
>
> lg DerBlinde
Du musst ein neues, gegen das alte (x,y)-System verschobenes
Koordinatensystem einführen. Ich schlage einmal u und v als
neue Koordinatenbezeichnungen vor. Im Symmetriezentrum
(=Wendepunkt) der Kurve soll u=v=0 gelten. Durch deine
bisherigen Rechnungen hast du eigentlich schon ermittelt, dass
[mm] x=u-\bruch{b}{3a} [/mm] und [mm] y=v-\left(\bruch{2b^3}{27a^2}-\bruch{bc}{3a}+d\right)
[/mm]
sein muss. Setze diese Ausdrücke anstelle von x und y in die
Gleichung [mm] y=ax^3+bx^2+cx+d [/mm] ein, rechne und vereinfache fleissig
und stelle am Ende fest, dass in der resultierenden Gleichung
v= ................ (Funktion von u)
auf der rechten Seite nur ungerade Potenzen von u vorkommen !
Das ist zwar ziemlich mühsam; es gäbe einfachere Wege ...
Gruß Al-Chw.
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