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| Aufgabe | (Spiegelung an einer Ebene im Raum)
Eine Ebene im [mm] \IR^{3} [/mm] ist bestimmt durch einen Normalenvektor [mm] n=\vektor{n _{1}\\n _{2}\\n _{3}} \in \IR^{3}, \parallel n\parallel_{2}=1 [/mm] und einen Abstand c [mm] \in \IR [/mm] vom Ursprung. Für einen Punkt [mm] r=\vektor{x\\y\\z} [/mm] der Ebene gilt: [mm] n^{T}r-c=0.
[/mm]
Bestimmen Sie die Transformationsmatrix T [mm] \in \IR^{4*4}, [/mm] die die Spiegelung an dieser Ebene bescreibt. |
Kann mir jemand erklären, wie ich an diese Aufgabe dran gehe. Vielen Dank im voraus.
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Mit [mm]E[/mm] als 3×3-Einheitsmatrix und [mm]N = (n_i n_j)[/mm] als derjenigen 3×3-Matrix, die in der [mm]i[/mm]-ten Zeile und [mm]j[/mm]-ten Spalte das Produkt [mm]n_i n_j[/mm] enthält, wird die Spiegelung an der gegebenen Ebene durch
[mm]r \mapsto r' = (E - 2N) r + 2cn[/mm]
beschrieben. Die Herleitung geht geradeaus geometrisch: Man schneidet die Gerade durch [mm]r[/mm], die auf der Ebene senkrecht steht, mit der Ebene. So erhält man den Lotfußpunkt [mm]f[/mm]. Wenn man nun den Vektor [mm]f - p[/mm] an [mm]f[/mm] ansetzt, bekommt man den gesuchten Bildpunkt.
Wie das allerdings mit der gesuchten 4×4-Matrix [mm]T[/mm] zusammenhängt, ist mir nicht ganz klar. Wahrscheinlich habt ihr da in der Vorlesung eine spezielle Darstellung eingeführt, möglicherweise (in der Schreibweise von Kästchenmatrizen)
[mm]T = \begin{pmatrix} E - 2N & 2cn \\ 0 & 1 \end{pmatrix}[/mm]
oder ähnlich. Dafür gälte
[mm]\begin{pmatrix} r' \\ 1 \end{pmatrix} = T \, \begin{pmatrix} r \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
Die Überschrift "Punktspiegelung" ist übrigens irreführend. Hier geht es um die Spiegelung von Punkten an einer Ebene, also eine "Ebenenspiegelung".
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