Punktmengen i.d. kompl. Ebene < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:22 Sa 30.04.2005 | | Autor: | frau-u |
Hi,
Ich hänge hier an einer Aufgabe fest, für die ich nicht so den richtigen Weg finde. Habe zwar schon einige Beispielaufgaben durchgelesen, aber kann es nicht auf diese hier übertragen.
Skizzieren Sie die folgenden Punktmengen in der komplexen Ebene:
M1:= {z [mm] \in \IC:|z-2|<2 [/mm] }
M2:= {z [mm] \in \IC: [/mm] z [mm] \not= [/mm] 1, [mm] |\bruch{z+1}{z-1}|<1 [/mm] }
Das einzige, was ich bisher heruasgefunden habe:
M1: |z-2| stellt die Menge der Punkte dar, deren Abstand zu 2 kleiner als 2 ist.
M2: |z+1|= 1+z und |z-1|=-1+z, also stellt es die Menge der Punkte dar, daren Differenz zwischen dem Abstand von -1 und 1 kleiner als 1 ist.
Und nun?
Wie kann ich das skizzieren bzw. ausformulieren?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:08 Sa 30.04.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Frau-u!
> Hi,
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> Ich hänge hier an einer Aufgabe fest, für die ich nicht so
> den richtigen Weg finde. Habe zwar schon einige
> Beispielaufgaben durchgelesen, aber kann es nicht auf diese
> hier übertragen.
>
> Skizzieren Sie die folgenden Punktmengen in der komplexen
> Ebene:
> M1:= {z [mm] \in \IC:|z-2|<2 [/mm] }
> M2:= {z [mm] \in \IC:\; [/mm] z [mm] \not=1, \left|\bruch{z+1}{z-1}\right|<1 [/mm] }
>
> Das einzige, was ich bisher heruasgefunden habe:
> M1: |z-2| stellt die Menge der Punkte dar, deren Abstand
> zu 2 kleiner als 2 ist.
Genau. Und jetzt zeichnest du ein kartesisches Koordinatensystem, die $x$-Achse wie gewohnt und anstelle der 1 bei der $y$-Achse schreibst du die imaginäre Einheit hin (siehe auch ![[]](/images/popup.gif) http://statistik.wu-wien.ac.at/~leydold/MOK/HTML/node199.html). Nun stellst du deinen Zirkel auf den Radius $2$ ein und schlägst damit einen Kreis um den Punkt [mm] $P_1(2;\;0)$. [/mm] Alle Punkte innerhalb des Kreises (also ausgenommen der Rand des Kreises) sind dann die Elemente von [mm] $M_1$. [/mm]
> M2: |z+1|= 1+z und |z-1|=-1+z,
Das ist leider beides falsch, denn:
Für z.B. $z=-2$ gilt: [mm] $|z+1|=|-2+1|=|-1|=1\not=-1=1+(-2)=1+z$ [/mm] und für z.B. $z=0$ wäre [mm] $|z-1|=|0-1|=1\not=-1+0=-1+z$.
[/mm]
Zu [mm] $M_2$:
[/mm]
Beachte, dass [mm] $\left|\frac{a}{b}\right|=\frac{|a|}{|b|}$ [/mm] ($a [mm] \in \IC$, [/mm] $b [mm] \in \IC \setminus\{0\}$) [/mm] gilt.
Wir erhalten deswegen für $z [mm] \not=1$:
[/mm]
[mm]\left|\bruch{z+1}{z-1}\right|<1[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm]\frac{|z+1|}{|z-1|}<1[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm]|z+1|<|z-1|[/mm]
Nun gilt [mm] $|c|^2=c*\overline{c}$, [/mm] wobei [mm] $\overline{c}$ [/mm] die konjugiert komplexe Zahl zu $c [mm] \in \IC$ [/mm] sei. Also folgt für $z [mm] \not=1$:
[/mm]
[mm]|z+1|<|z-1|[/mm]
[mm] $\stackrel{streng\;wachsende\;Monotonie\;von\;f(x)=x^2\;auf\;[0,\;\infty[}{\gdw}$
[/mm]
[mm]|z+1|^2<|z-1|^2[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm](z+1)*\overline{(z+1)}<(z-1)*\overline{(z-1)}[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm](z+1)*(\overline{z}+1)<(z-1)*(\overline{z}-1)[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm]z*\overline{z}+\overline{z}+z+1
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm]2*(\underbrace{\overline{z}+z}_{=2*\mbox{Re}(z)\;\in \IR})<0[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[m]4*\mbox{Re}(z)<0[/m]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[m]\mbox{Re}(z)<0[/m]
In [mm] $M_2$ [/mm] sind also alle Elemente der Gaußschen Zahlenebene enthalten, die sich "links von der "$y$-Achse" (imaginäre Achse)" befinden. Die "$y$-Achse" selbst gehört nicht mehr dazu! Du schraffierst sozusagen in deinem kartesischen Koordinatensystem alles links von der $y$-Achse!
PS: Übe dich bitte auch nochmal im Rechnen mit komplexen Zahlen und versuche mal, meine Rechnung nachzuvollziehen. Ggf. fragst du einfach nochmal nach  !
PPS: Beachte bitte auch für $z [mm] \in \IC$:
[/mm]
[mm] $z=\mbox{Re}(z)+i*\mbox{Im}(z)$
[/mm]
Viele Grüße,
Marcel
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