Punkte in z-Ebene bestimmen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:11 Do 27.11.2014 | | Autor: | bla234 |
| Aufgabe | Welche Punkte der z-Ebene erfüllen
a) [mm] z=(1+i)+\lambda(5-2i), \lambda\ge0 [/mm] reell,
b) [mm] Im(\bruch{z+1}{z-1})\le2
[/mm]
Skizze der Punktmenge. |
Ich weiß nicht ganz genau wie ich vorgehen soll. Habe als erstes Imaginärteil und Realteil voneinander getrennt:
a)
z= [mm] (1+\lambda5)+i(1-2\lambda) [/mm] und hier ist auch schon Schluss.
Das Zweite was ich versucht habe ist, den ersten imaginären Punkt als Aufpunkt zu nehmen und dann mit dem anderen eine Gerade zu konstruieren. Könnte ich dann sagen alle Punkte auf der Geraden sind Teil der Punktmenge?
b) Hier weiß ich leider gar nicht wie ich starten soll...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:07 Do 27.11.2014 | | Autor: | Fulla |
Hallo bal234,
> Welche Punkte der z-Ebene erfüllen
> a) [mm]z=(1+i)+\lambda(5-2i), \lambda\ge0[/mm] reell,
> Skizze der Punktmenge.
> Ich weiß nicht ganz genau wie ich vorgehen soll. Habe als
> erstes Imaginärteil und Realteil voneinander getrennt:
>
> a)
> z= [mm](1+\lambda5)+i(1-2\lambda)[/mm] und hier ist auch schon
> Schluss.
Das ist nicht wirklich zielführend...
> Das Zweite was ich versucht habe ist, den ersten
> imaginären Punkt als Aufpunkt zu nehmen und dann mit dem
> anderen eine Gerade zu konstruieren. Könnte ich dann sagen
> alle Punkte auf der Geraden sind Teil der Punktmenge?
Dieser Ansatz ist schon besser. Die Punktmenge ist allerdings eine Halbgerade da [mm]\lambda\ge 0[/mm] vorausgesetzt ist.
Übertragen auf den [mm]\mathbb R^2[/mm] wäre das ein Teil der Gerade [mm]\vektor{1\\1}+\lambda\cdot\vektor{5\\-2}[/mm], und zwar der Teil "rechts unterhalb" des Punktes [mm]\vektor{1\\1}[/mm].
Lieben Gruß,
Fulla
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:39 Fr 28.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Welche Punkte der z-Ebene erfüllen
> a) [mm]z=(1+i)+\lambda(5-2i), \lambda\ge0[/mm] reell,
> b) [mm]Im(\bruch{z+1}{z-1})\le2[/mm]
> Skizze der Punktmenge.
> Ich weiß nicht ganz genau wie ich vorgehen soll. Habe als
> erstes Imaginärteil und Realteil voneinander getrennt:
>
> a)
> z= [mm](1+\lambda5)+i(1-2\lambda)[/mm] und hier ist auch schon
> Schluss.
>
> Das Zweite was ich versucht habe ist, den ersten
> imaginären Punkt als Aufpunkt zu nehmen und dann mit dem
> anderen eine Gerade zu konstruieren. Könnte ich dann sagen
> alle Punkte auf der Geraden sind Teil der Punktmenge?
>
>
> b) Hier weiß ich leider gar nicht wie ich starten soll...
Stur Rechnen ! Mit z=x+iy (x,y [mm] \in \IR) [/mm] rechne zunächst [mm] \bruch{z+1}{z-1} [/mm] aus. Bringe das auf die Form
[mm] $\bruch{z+1}{z-1} [/mm] =u+iv$ mit u,v [mm] \in \IR.
[/mm]
Die Ungleichung v [mm] \le [/mm] 2 forme solange äquivalent um bis Du auf eine Ungleichung der Form
[mm] (x-a)^2+(y-b)^2 \ge r^2
[/mm]
kommst (a,b,r [mm] \in \IR)
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:23 Sa 29.11.2014 | | Autor: | bla234 |
ok, danke schon mal:
Also einfach losrechnen:
[mm] Im(\bruch{(x+iy)*(x+iy)}{(x-iy)*(x+iy)})=Im(\bruch{x²+2iy-1}{x^2+y^2})
[/mm]
=> [mm] \bruch{y}{x^2+y^2}\le1
[/mm]
=> [mm] y\le(x^2+y^2)
[/mm]
Offensichtlich ein Kreis. Auch in der komplexen Ebene? Kann ich hier noch irgendwas weiter bestimmen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:52 Sa 29.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> ok, danke schon mal:
>
> Also einfach losrechnen:
>
> [mm]Im(\bruch{(x+iy)*(x+iy)}{(x-iy)*(x+iy)})=[/mm]
Du betrachtes hier [mm] Im(\bruch{z}{\bar z}). [/mm] Das hat mit obiger Aufgabe nix zu tun !
FRED
> [mm] Im(\bruch{x²+2iy-1}{x^2+y^2})
[/mm]
> => [mm]\bruch{y}{x^2+y^2}\le1[/mm]
> => [mm]y\le(x^2+y^2)[/mm]
>
> Offensichtlich ein Kreis. Auch in der komplexen Ebene? Kann
> ich hier noch irgendwas weiter bestimmen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:36 So 30.11.2014 | | Autor: | bla234 |
Ok, sorry fred (danke trotzdem)... neuer Versuch:
[mm] Im(\bruch{((x+1)+iy)}{((x-1)+iy)})=Im(\bruch{((x+1)+iy)((x-1)-iy)}{((x-1)+iy)((x-1)-iy)})=Im(\bruch{(x+1)(x-1)+iy(-x-1+x-1)+y^2}{(x-1)^2+y^2})=\bruch{-2y}{(x-1)^2+y^2}
[/mm]
=> [mm] \bruch{-2y}{(x-1)^2+y^2}\le2
[/mm]
=> [mm] y\ge-((x-1)^2+y^2)
[/mm]
Ich hoffe jetzt ist einigermaßen was geworden. Das ist ein Kreis der im 4. Quadranten um 1 nach rechts verschoben ist mit dem Radius y? Stimmt das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:19 So 30.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ok, sorry fred (danke trotzdem)... neuer Versuch:
>
> [mm]Im(\bruch{((x+1)+iy)}{((x-1)+iy)})=Im(\bruch{((x+1)+iy)((x-1)-iy)}{((x-1)+iy)((x-1)-iy)})=Im(\bruch{(x+1)(x-1)+iy(-x-1+x-1)+y^2}{(x-1)^2+y^2})=\bruch{-2y}{(x-1)^2+y^2}[/mm]
> => [mm]\bruch{-2y}{(x-1)^2+y^2}\le2[/mm]
> => [mm]y\ge-((x-1)^2+y^2)[/mm]
>
> Ich hoffe jetzt ist einigermaßen was geworden. Das ist ein
> Kreis der im 4. Quadranten um 1 nach rechts verschoben ist
> mit dem Radius y? Stimmt das?
Nein. Tipp: quadratische Ergänzung
FRED
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:11 Do 04.12.2014 | | Autor: | bla234 |
sorry ich komme jetzt erst wieder hierzu.
ist mein vorgehen von Anfang nicht richtig oder ist es bis jetzt richtig und ich muss jetzt mit quadratischer Ergänzung arbeiten?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:03 Do 04.12.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> sorry ich komme jetzt erst wieder hierzu.
>
> ist mein vorgehen von Anfang nicht richtig oder ist es bis
> jetzt richtig und ich muss jetzt mit quadratischer
> Ergänzung arbeiten?
ich rechne es einfach mal selbst: Mit $z=x+iy$ ($x,y [mm] \in \IR$ [/mm] - [mm] $x=\Re(z)$ [/mm] und [mm] $y=\Im(z)$)
[/mm]
[mm] $\Im(\bruch{z+1}{z-1})\le2$
[/mm]
[mm] $\iff \Im(\tfrac{(x+1)+iy}{(x-1)+iy}) \le [/mm] 2$
[mm] $\iff \Im(\tfrac{((x+1)+iy)*((x-1)-iy)}{(x-1)^2+y^2}) \le [/mm] 2$
[mm] $\iff y*(x-1)-y*(x+1)\le 2(x-1)^2+2y^2$
[/mm]
[mm] $\iff [/mm] 0 [mm] \le 2(x-1)^2+2y^2+2y=2*\{(x-1)^2+(y+\tfrac{1}{2})^2-\tfrac{1}{4}\}$
[/mm]
[mm] $\iff (x-1)^2+(y+\tfrac{1}{2})^2 \ge \left(\frac{1}{2}\right)^2$ [/mm]
Bei Deiner Rechnung fehlt halt der Teil, wo man, wie Fred es sagte, quadratisch
ergänzen sollte, um auf "Kreis(un)gleichungsform" zu kommen, also das hier:
[mm] $y^2+y=(y+1/2)^2-1/4\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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