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Punkte auf einer Ebene: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:00 Mo 31.08.2009
Autor: low_head

Aufgabe
Untersuchen Sie, ob die Punkte A, B, C und D in einer gemeinsamen Ebene liegen.

A (0|1|-1), B (2|3|5), C (-1|3|-1), D (2|2|2)

Meine Idee war die Koordinatengleichung der Ebene zu bestimmen.

[mm] +0a_{1} +1a_{2}-1a_{3}=b [/mm]
[mm] +2a_{1} +3a_{2}+5a_{3}=b [/mm]
[mm] -1a_{1}+3a_{2}-1a_{3}=b [/mm]
[mm] +2a_{1} +2a_{2}+2a_{3}=b [/mm]

Ist das soweit richtig?
und meine 2te Frage. Was ist der nächste Schritt?




        
Bezug
Punkte auf einer Ebene: Link
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:25 Mo 31.08.2009
Autor: barsch

Hi,

das wird dir weiterhelfen: Link

Gruß barsch

Bezug
        
Bezug
Punkte auf einer Ebene: Gleichungssystem
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:07 Mo 31.08.2009
Autor: Loddar

Hallo low-head!


Ja, man kann so vorgehen und es sieht soweit richtig aus. [ok]


Du musst nun dieses lineare Gleichungssystem lösen (z.B. mittels MBGauß-Algorithmus). Existiert hier eine endeutige Lösung, liegen die 4 genannten Punkte in einer Ebene.


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Punkte auf einer Ebene: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:23 Mo 31.08.2009
Autor: low_head

Ich hab es nun anders versucht.

Ich hab mit A, B und C eine Ebenengleichung aufgestellt.

x = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ -1}+r\vektor{2 \\ 2 \\ 6}+s\vektor{-1 \\ 2 \\ 0} [/mm]

wenn ich nun für x den Punkt D ein setzte und das ganze im LGS löse bekomme ich folgende ergebnisse

[mm] \vektor{2 \\ 2/3 \\ -2/3} [/mm]

ist das nun richtig? Oô und was heißt das für meine Lösung?

Bezug
                        
Bezug
Punkte auf einer Ebene: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:35 Mo 31.08.2009
Autor: schachuzipus

Hallo low_head,

> Ich hab es nun anders versucht.
>  
> Ich hab mit A, B und C eine Ebenengleichung aufgestellt.
>  
> x = [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ -1}+r\vektor{2 \\ 2 \\ 6}+s\vektor{-1 \\ 2 \\ 0}[/mm] [ok]

>  
> wenn ich nun für x den Punkt D ein setzte und das ganze im
> LGS löse bekomme ich folgende ergebnisse
>  
> [mm]\vektor{2 \\ 2/3 \\ -2/3}[/mm]

Wie kommt dieses Ergebnis zustande?

Gesucht sind doch Parameter r,s ...

Wie kommst du auf ne Matrix?

Zu lösen ist doch [mm] $\vektor{0 \\ 1 \\ -1}+r\vektor{2 \\ 2 \\ 6}+s\vektor{-1 \\ 2 \\ 0}=\vektor{2\\2\\2}$ [/mm]

Übersetzt in ein LGS:

[mm] $\vmat{2r&-&s&=&2\\2r&+&2s&=&1\\6r&&&=&3}$ [/mm]

Aus der letzten Zeile ergibt sich [mm] $r=\frac{1}{2}$ [/mm]

Setze das ein in Gleichung 1 und 2 und schaue, ob du insgesamt eine eindeutige Lösung für r und s bekommst ...

>  
> ist das nun richtig? Oô und was heißt das für meine
> Lösung?

LG

schachuzipus

Bezug
                                
Bezug
Punkte auf einer Ebene: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:46 Mo 31.08.2009
Autor: low_head

ah.. dann bekomm ich für

s=-1 und s=0 raus d.h. die Punkte liegen nicht auf einer Ebene?

Bezug
                                        
Bezug
Punkte auf einer Ebene: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:12 Mo 31.08.2009
Autor: steppenhahn

Hallo!


> ah.. dann bekomm ich für
>
> s=-1 und s=0 raus d.h. die Punkte liegen nicht auf einer
> Ebene?

[ok]

Das heißt nämlich zunächst einmal, dass es keine Lösung für das Gleichungssystem gibt. Daraus kannst du folgern, dass es für keine Wahl der Parameter r und s möglich ist, den Ortsvektor von D durch deine aus A,B und C erzeugte Ebene darzustellen. Folglich liegt D nicht in der Ebene ABC, also liegen A, B, C und D nicht in einer Ebene :-)

Grüße,
Stefan.

Bezug
        
Bezug
Punkte auf einer Ebene: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:38 Di 01.09.2009
Autor: fencheltee


> Untersuchen Sie, ob die Punkte A, B, C und D in einer
> gemeinsamen Ebene liegen.
>  A (0|1|-1), B (2|3|5), C (-1|3|-1), D (2|2|2)
>  
> Meine Idee war die Koordinatengleichung der Ebene zu
> bestimmen.
>  
> [mm]+0a_{1} +1a_{2}-1a_{3}=b[/mm]
>  [mm]+2a_{1} +3a_{2}+5a_{3}=b[/mm]
>  
> [mm]-1a_{1}+3a_{2}-1a_{3}=b[/mm]
>  [mm]+2a_{1} +2a_{2}+2a_{3}=b[/mm]
>  
> Ist das soweit richtig?
> und meine 2te Frage. Was ist der nächste Schritt?
>  
>
>  

evtl schneller wärst du wenn dir der begriff []Spatprodukt was sagt?
Spatprodukt = Volumen eines von 3 Vektoren aufgespannten Spats
wenn du jetzt
nehmen wir an wir haben die 3 vektoren
[mm] \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} [/mm] und [mm] \overrightarrow{AD} [/mm]
wenn die punkte alle in einer ebene sind, sind auch die verbindungsvektoren in einer ebene und das volumen wäre somit 0!
berechnen musst du dann lediglich die determinante:
[mm] V=[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}]=\vmat{ a_x & b_x & c_y \\ a_y & b_y & c_y \\ a_z & b_z & c_z } [/mm]
mit der []Regel von Sarrus ein klacks

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