Punkt auf Kreis bestimmen < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:51 Fr 02.10.2015 | | Autor: | Crashday |
Hallo Leute,
ich habe mal eine vielleicht etwas banale Frage, aber ich komme einfach nicht auf die Lösung.
Es gibt einen Kreis mit dem Radius 2, der Mittelpunkt ist (2,2) und 2 weitere Punkte sind (2,0) und (4,2). Die Bogenlänge des Viertelkreises beträgt 3.14. Ich befinde mich im Punkt (4,2) und bewege mich mit der Länge 1.57 zum Punkt P . Wie lauten die Koordinaten des Punktes?
Wie ist die beste herangehensweise bei so einem Problem? Gibt es da irgendwelche banale Formeln, die mir irgendwie entgangen sind?
Wäre echt super, wenn mit jemand einen Ratschlag geben könnte - Danke :)
Crashday
|
|
| |
|
> Es gibt einen Kreis mit dem Radius 2, der Mittelpunkt ist
> (2,2) und 2 weitere Punkte sind (2,0) und (4,2). Die
> Bogenlänge des Viertelkreises beträgt 3.14.
(exakt: [mm] \pi [/mm] )
> Ich befinde mich im Punkt (4,2) und bewege mich mit
> der Länge 1.57
(gemeint ist vermutlich [mm] \pi/2 [/mm] )
> zum Punkt P .
Du solltest genauer sagen, was du damit meinst. Ich
vermute, dass man vom Punkt (4,2) ausgehend entlang
der Kreislinie gehen soll. Dann wäre noch zu klären,
ob die Reise im positiven oder negativen Drehsinn
gehen soll (Gegenuhrzeigersinn oder Uhrzeigersinn).
Wie lauten die Koordinaten des Punktes?
(... den man dabei erreicht.)
>
> Wie ist die beste herangehensweise bei so einem Problem?
> Gibt es da irgendwelche banale Formeln, die mir irgendwie
> entgangen sind?
>
> Wäre echt super, wenn mit jemand einen Ratschlag geben
> könnte - Danke :)
>
> Crashday
Der Viertelkreisbogen hat die Bogenlänge [mm] \pi [/mm] . Die Hälfte
davon ergäbe also einen Achtelkreisbogen (Zentriwinkel 45°).
LG , Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:16 Fr 02.10.2015 | | Autor: | Crashday |
Vielen Dank für die Antwort. Jep, genauso meine ich das. Also so wie es aussieht eher gegen den Uhrzeigersinn, da ich mich im Punkt (4,2) befinde, mich mit der Länge pi/2 bewege in richtung (2,0).
Ich würde mich aber auch freuen, wie die Lösung aussehen würde, wenn ich auch im Uhrzeigersinn gehen würde.
Edit: Ich habe jetzt ein eher einfaches Beispiel genommen. Es sollte auch z. B. möglich sein, einen Weg von 2.34 oder so gehen zu können. Ich möchte nur den Ansatz wissen, wie es möglich ist mit einer bestimmten Länge die Koordinanten des Punktes zu bestimmen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:11 Fr 02.10.2015 | | Autor: | Fulla |
> Vielen Dank für die Antwort. Jep, genauso meine ich das.
> Also so wie es aussieht eher gegen den Uhrzeigersinn, da
> ich mich im Punkt (4,2) befinde, mich mit der Länge pi/2
> bewege in richtung (2,0).
>
> Ich würde mich aber auch freuen, wie die Lösung aussehen
> würde, wenn ich auch im Uhrzeigersinn gehen würde.
>
> Edit: Ich habe jetzt ein eher einfaches Beispiel genommen.
> Es sollte auch z. B. möglich sein, einen Weg von 2.34 oder
> so gehen zu können. Ich möchte nur den Ansatz wissen, wie
> es möglich ist mit einer bestimmten Länge die
> Koordinanten des Punktes zu bestimmen.
Hallo Crashday,
über die Länge des Kreisbogens bis P kannst du den Mittelpunktswinkel bestimmen (Stichwort: Umrechnen von Bogenmaß ins Gradmaß, z.B. ![[]](/images/popup.gif) hier) beachte dabei, dass der Radius in diesem Fall nicht 1 sondern 2 ist.
Mit diesem Winkel (in deinem Fall 45°) kannst du mittels Sinus und Kosinus die Koordinaten von P berechnen. Zunächst bezüglich des Kreismittelpunktes, wenn dieser nicht im Ursprung liegt, musst du seine Koordinaten (bei dir (2,2) ) noch dazu addieren. (Die entsprechenden Formeln findest du in jeder Formelsammlung)
Lieben Gruß,
Fulla
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:43 Mo 05.10.2015 | | Autor: | fred97 |
Machen wirs mal allgemein: sei $c:[a,b] [mm] \to \IR^n$ [/mm] ein stetig differenzierbarer Weg und es sei $c'(t) [mm] \ne [/mm] 0$ für alle $t [mm] \in [/mm] [a,b]$. Sei L die Länge von c.
Die zugeh. Weglängenfunktion
$s:[a,b] [mm] \to [/mm] [0,L]$ ist def. durch [mm] $s(t):=\integral_{a}^{t}{||c'(s)|| ds}$
[/mm]
Dann ist $L=s(b)$ , s ist bijektiv und stetig differenzierbar.
Sei nun [mm] t_0 \in [/mm] [a,b] und wir befinden uns im Punkt [mm] Q=c(t_0). [/mm] Bewegen wir uns um a Längeneinheiten längs c([a,b]) von Q aus weiter, so erreichen wir den Punkt P.
Gesucht ist also [mm] t_1 \in [/mm] [a,b] mit [mm] P=c(t_1).
[/mm]
Bis Q haben wir [mm] s(t_0) [/mm] Längeneinheiten zurückgelegt, bis P also [mm] s(t_0)+a.
[/mm]
Es gilt also: [mm] s(t_1)=s(t_0)+a [/mm] und damit
[mm] t_1=s^{-1}(s(t_0)+a)
[/mm]
Fazit: [mm] P=c(s^{-1}(s(t_0)+a)).
[/mm]
FRED
|
|
|
|
