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| Aufgabe | Sei [mm] (X,\mathcal{A}, \mu) [/mm] ein Maßraum mit [mm] \mu(X) [/mm] < [mm] \infty. [/mm] Zeigen Sie, dass d: [mm] \mathcal{A} \times \mathcal{A} \rightarrow [0,\infty[ [/mm] gegeben durch
d(A,B)= [mm] \mu(A \backslash [/mm] B)+ [mm] \mu(B \backslash [/mm] A)
eine Pseudometrik definiert ist, also dass
d(A,A)=0, d(A,B)=d(B,A) und d(A,C) [mm] \le [/mm] d(A,B)+d(B,C)
erfüllt ist. |
Hallo 
habe zu dieser Aufgabe folgendes notiert:
i) d(A,A)= [mm] \mu(A\backslash [/mm] A)+ [mm] \mu(A \backslash [/mm] A) = [mm] \mu(\emptyset) [/mm] + [mm] \mu(\emptyset) [/mm] = 0+0 = 0
ii) d(A,B) = [mm] \mu(A \backslash [/mm] B)+ [mm] \mu(B \backslash [/mm] A) = [mm] \mu(B \backslash [/mm] A) + [mm] \mu(A \backslash [/mm] B) = d(B,A)
iii) d(A,C)= [mm] \mu(A \backslash [/mm] C) + [mm] \mu(C \backslash [/mm] A) = [mm] \mu(A \cap C^{C}) [/mm] + [mm] \mu(C \cap A^{C}) [/mm] = [mm] \mu((A \cap C^{C}) \cup [/mm] (C [mm] \cap A^{C}))=....
[/mm]
Nur bei diesem Punkt komme ich irgendwie so überhaupt nicht weiter... hätte jemand vielleicht einen Tipp?
LG,
derriemann
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:45 So 03.11.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo DrRiese!
> Sei [mm](X,\mathcal{A}, \mu)[/mm] ein Maßraum mit [mm]\mu(X)[/mm] < [mm]\infty.[/mm]
> Zeigen Sie, dass d: [mm]\mathcal{A} \times \mathcal{A} \rightarrow [0,\infty[[/mm]
> gegeben durch
> d(A,B)= [mm]\mu(A \backslash[/mm] B)+ [mm]\mu(B \backslash[/mm] A)
> eine Pseudometrik definiert ist, also dass
> d(A,A)=0, d(A,B)=d(B,A) und d(A,C) [mm]\le[/mm] d(A,B)+d(B,C)
> erfüllt ist.
> habe zu dieser Aufgabe folgendes notiert:
>
> i) d(A,A)= [mm]\mu(A\backslash[/mm] A)+ [mm]\mu(A \backslash[/mm] A) =
> [mm]\mu(\emptyset)[/mm] + [mm]\mu(\emptyset)[/mm] = 0+0 = 0
>
> ii) d(A,B) = [mm]\mu(A \backslash[/mm] B)+ [mm]\mu(B \backslash[/mm] A) =
> [mm]\mu(B \backslash[/mm] A) + [mm]\mu(A \backslash[/mm] B) = d(B,A)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> iii) d(A,C)= [mm]\mu(A \backslash[/mm] C) + [mm]\mu(C \backslash[/mm] A) =
> [mm]\mu(A \cap C^{C})[/mm] + [mm]\mu(C \cap A^{C})[/mm] = [mm]\mu((A \cap C^{C}) \cup[/mm]
> (C [mm]\cap A^{C}))=....[/mm]
>
> Nur bei diesem Punkt komme ich irgendwie so überhaupt
> nicht weiter... hätte jemand vielleicht einen Tipp?
Zeige:
[mm] $(A\cap C^C)\cup(C\cap A^C)\subseteq ((A\setminus B)\cup (B\setminus A))\cup ((C\setminus B)\cup(B\setminus [/mm] C))$.
Viele Grüße
Tobias
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Also ich würde dann zu iii) schreiben:
A [mm] \backslash [/mm] C [mm] \subset [/mm] (A [mm] \backslash [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (B [mm] \backslash [/mm] C)
C [mm] \backslash [/mm] A [mm] \subset [/mm] (C [mm] \backslash [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (B [mm] \backslash [/mm] A)
[mm] \Rightarrow [/mm] (A [mm] \cap C^{C}) \cup [/mm] (C [mm] \cap A^{C}) \subset [/mm] ((A [mm] \backslash [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (B [mm] \backslash [/mm] A)) [mm] \cup [/mm] ((C [mm] \backslash [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (B [mm] \backslash [/mm] C))
aber "rechnerisch" zeigen könnte ich das leider i-wie nicht... :-(
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:24 Mo 04.11.2013 | | Autor: | tobit09 |
> A [mm]\backslash[/mm] C [mm]\subset[/mm] (A [mm]\backslash[/mm] B) [mm]\cup[/mm] (B [mm]\backslash[/mm]
> C)
> C [mm]\backslash[/mm] A [mm]\subset[/mm] (C [mm]\backslash[/mm] B) [mm]\cup[/mm] (B [mm]\backslash[/mm]
> A)
> [mm]\Rightarrow[/mm] (A [mm]\cap C^{C}) \cup[/mm] (C [mm]\cap A^{C}) \subset[/mm] ((A
> [mm]\backslash[/mm] B) [mm]\cup[/mm] (B [mm]\backslash[/mm] A)) [mm]\cup[/mm] ((C [mm]\backslash[/mm] B)
> [mm]\cup[/mm] (B [mm]\backslash[/mm] C))
> aber "rechnerisch" zeigen könnte ich das leider i-wie
> nicht... :-(
Du könntest die ersten beiden Zeilen noch näher begründen; etwa die erste Zeile:
Sei [mm] $\omega\in A\setminus [/mm] C$.
Zu zeigen ist [mm] $\omega\in(A \backslash [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (B [mm] \backslash [/mm] C) $.
Falls [mm] $\omega\in [/mm] B$, folgt [mm] $\omega\in B\setminus C\subseteq\omega\in(A \backslash [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (B [mm] \backslash [/mm] C)$.
Falls [mm] $\omega\notin [/mm] B$, folgt [mm] $\omega\in A\setminus B\subseteq(A \backslash [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (B [mm] \backslash [/mm] C)$.
Jetzt fehlt nur noch die Zurückführung von [mm] $d(A,C)\le [/mm] d(A,B)+d(B,C)$ auf die nun bewiesene Hilfsaussage.
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