Pseudoinverse Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:57 Sa 12.11.2016 | | Autor: | noglue |
| Aufgabe | Sei A eine reelle [mm] m\times [/mm] n-Matrix und B eine reelle [mm] n\times [/mm] m- Matrix. Zeige, dass B genau dann die pseudsoinverse Matrix zu A ist, wenn AB und BA symmetrische Matrizen sind und
ABA=A und BAB=B gilt |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Mooin,
Ich sitze vor diese Aufgabe und weiß nicht wo ich anfangen soll.
Also zu zeigen ist:
B Pseudoinverse zu A [mm] \gdw [/mm] AB und BA symmetrisch, ABA=A und BAB=B
[mm] "\Rightarrow" [/mm] B Pseudoinverse zu A, dann ist [mm] B=A^{+}
[/mm]
[mm] A^{+}=Q^{-1}D^{+}P [/mm] ,wobei Q,P orthogonal und D Diagonalmatrix
Ich bin für jeden Tipp dankbar.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:44 So 13.11.2016 | | Autor: | Omega91 |
Hallo,
wie lautet denn eure exakte Definition ?
Pseudoinverse gibt es so einige ...
schreib dir/uns hier mal die genaue Definition auf und versuche mal einen eigenen Ansatz.
Lg Omega
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:31 So 13.11.2016 | | Autor: | noglue |
Ist [mm] A=P^{T}DQ [/mm] eine Singulärwertzerlegung einer [mm] m\times [/mm] n-Matrix A, so heißt die [mm] n\times [/mm] m-Matrix [mm] A^{+} [/mm] die zu A pseudoinverse Matrix.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Di 15.11.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 11:57 So 13.11.2016 | | Autor: | noglue |
ich habe jetzt folgendes versucht:
[mm] "\Rightarrow" [/mm] Sei [mm] A=P^{-1}DQ [/mm] eine Singulärwertzerlegung von A und [mm] A^{+}=Q^{-1}D^{+}P [/mm] pseudoinverse Matrix von A. Dann gilt
[mm] AA^{+}=(P^{-1}DQ)(Q^{-1}D^{+}P)=P^{-1}(D(QQ^{-1})D^{+})P=P^{T}(DD^{+})P
[/mm]
[mm] DD^{+} [/mm] ist eine Blockdiagonalmatrix. Damit erhalten wir [mm] AA^{+} [/mm] symmetrisch. Analog ist [mm] A^{+}A [/mm] eine symmetrische Matrix.
oder kann man es so zeigen:
Sei [mm] B=(A^{T}A)^{-1}A^T. [/mm] Dann ist [mm] BA=(A^TA)^{-1}A^{T}A=E_n, [/mm] so ist BA symmetrisch, BAB=B und ABA=A. Letzendlich [mm] AB=A(A^{T}A)^{-1}A^{T} [/mm] symmetrisch, weil [mm] (A^{T}A)^{-1} [/mm] Inverse einer symmetrischen Matrix. Dann ist [mm] (AB)^{T}=B^{T}A^{T}=(A^{T})^{T}(A^{T}A)^{-1}A^{T}=AB
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:21 Di 15.11.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
