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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 13:37 Di 28.12.2004 | | Autor: | Joergi |
Hallo zusammen,
ich habe wieder einmal eine Frage und hoffe, dass mir jemand helfen kann!?
Dabei habe ich folgendes Problem zu lösen:
Zeige, dass die Pseudoinverse [mm] A^{+} [/mm] einer Matrix [mm]A \in \IR^{mxn}[/mm] mit [mm]m\ge n[/mm] die folgenden Eigenschaften hat:
a.) Falls m=n und Rang(A)=n, so gilt: [mm] A^{+}=A^{-1}.
[/mm]
b.) Falls Rang(A)=n, so gilt: [mm] A^{+}=(A^{T}A)^{-1}A^{T}.
[/mm]
c.) [mm] AA^{+}\in \IR^{mxm} [/mm] ist die orthogonale Projektion auf [mm] R(A)\subset\IR^{m} [/mm].
d.) [mm] A^{+}A\in \IR^{nxn} [/mm] ist die orthogonale Projektion auf [mm] N(A)^{\perp}\subset\IR^{n} [/mm].
Danke schonmal im Voraus an alle! Ideenansatz folgt prompt!
Gruß Joergi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:11 Di 28.12.2004 | | Autor: | Joergi |
Also, ich habe mir zu dieser Aufgabe folgendes überlegt:
a.) Beh.: Falls m=n und Rg(A)=n, so gilt: [mm]A^{+}=A^{-1}[/mm].
Bew.: Da [mm]Rg(A)=Rg(A^{T})=n[/mm], ist [mm]A^{T} \in \IR^{nxn}[/mm] eine nicht singuläre Matrix. Daraus folgt die Existenz von [mm]A^{-1}[/mm].
Hier weiß ich nicht weiter, da die Behauptung im Grunde aus der Definition der Pseudoinverse direkt folgt; jedoch muss ich das schon etwas genauer zeigen, wenn ich nicht wieder einen Anschiss riskieren will! 
Hat da vielleicht jemand eine Idee, hab es schon mit den Penrose-Axiomen probiert, aber so recht will das nicht klappen!
b.) Beh.: Falls Rg(A)=n, so gilt: [mm]A^{+}=(A^{T}A)^{-1}A^{T}[/mm].
Bew.: Da [mm] Rg(A)=Rg(A^{T})=Rg(AA^{T})=n, [/mm] ist [mm]AA^{T} \in \IR^{nxn}[/mm] eine nicht singuläre Matrix. Daraus folgt die Existenz von [mm](AA^{T})^{-1}[/mm].
Zeige nun zuerst: Für [mm]X[/mm] und [mm]X^{+}[/mm] gilt: [mm](X^{T})^{+}=(X^{+})^{T}[/mm] und [mm]X^{T}=V^{T}A^{T}U[/mm]. Aus der Definition der Pseudoinversen für [mm] A^{T} [/mm] und A folgt:
(i) [mm](A^{T})^{+}=U(X^{T})^{+}V^{T}=(VX^{+}U^{T})^{T}=(A^{+})^{T}[/mm]. Weiterhin ist:
(ii) [mm](A^{T})^{+}=(A^{T})^{T}[A^{T}(A^{T})^{T}]^{-1}=A(A^{T}A)^{-1}[/mm].
Mit (i) und (ii) folgt dann:
[mm]A^{+}=[(A^{T}A)^{-1}]^{T}A^{T}=(A^{T}A)^{-1}A^{T}[/mm]. [mm] \Box
[/mm]
c.) Beh.: [mm]AA^{+} \in \IR^{mxm}[/mm] ist orthogonale Projektion auf [mm]R(A) \subset \IR^{m}[/mm].
Bew.: Sei [mm]a \in \IR^{m}[/mm] und a=b+c die Zerlegung von b in einem Anteil [mm]b\in R(A)[/mm] und einem Anteil [mm]c \in R(A)^{\perp}[/mm], dann reicht es zu zeigen, dass:
(i) [mm]AA^{+}b=b[/mm]
(ii) [mm]AA^{+}c=0[/mm].
zu (i): Setze [mm]x^{+}:=A^{+}b[/mm]. Da [mm]x^{+}[/mm] eine Lösung des Ausgleichsproblems [mm]|| Ax - b ||=min![/mm] ist und [mm]b\in R(A)[/mm] mit [mm]R(A):= \{Ax:x\in \IR^{n} \}[/mm], folgt, dass: [mm]b=Ax^{+}=AA^{+}b[/mm].
zu (ii): Setze: [mm]x^{+}:=A^{+}c[/mm]. Da [mm]x^{+}[/mm] die Normalengleichung [mm]A^{\*}Ax^{+}=A^{\*}c[/mm] löst und da [mm]A^{\*}c=0[/mm] wegen [mm]c\in R(A)^{\perp}=N(A^{\*})[/mm], gilt [mm] x^{+}=0. [/mm] Deshalb ist auch [mm]AA^{+}=Ax^{+}=0[/mm]. [mm] \Box
[/mm]
d.) Beh.: [mm]A^{+}A \in \IR^{nxn}[/mm] ist orthogonale Projektion auf [mm]N(A)^{\perp} \subset \IR^{n}[/mm].
Bew.: Sei [mm] x\in \IR^{n} [/mm] beliebig und x=y+z die eindeutig bestimmte Zerlegung mit [mm]y\in N(A)^{\perp}[/mm] und [mm] z\in [/mm] N(A) mit N(A):= [mm] \{x\in \IR^{n}:Ax=0 \}, [/mm] dann reicht es zu zeigen, dass:
(i) [mm]A^{+}A y=y[/mm]
(ii)[mm]A^{+}Az=0[/mm].
zu (ii): Die zweite Behauptung folgt direkt aus Az=0.
zu (i): Zum Beweis der ersten Behauptung wendet man b=Ay an: Da y offensichtlich Lösung des Ausgleichsproblems || Ax - b||=min! und da [mm]y\in N(A)^{\perp}[/mm] ist, gilt: [mm]y=A^{+}b=A^{+}Ay[/mm][mm] .\Box
[/mm]
So, das war anstrengend einzutippen. Würde mich freuen, wenn mal jemand drüberschauen könnte! Vielen vielen Dank an alle die sich die Mühe machen!
Gruss Joergi
P.S.: An die Junx [mm] \wurzel{ \pi} [/mm] und AT-Colt: Aufgabe 35 (Givens-Rotation mit LGS) und Aufgabe 37 (Singulärwertzerlegung) habe ich schon gelöst, meldet Euch, wenn Ihr Hilfe braucht!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:29 Mi 12.01.2005 | | Autor: | Joergi |
Hallo Wurzelpi,
wir haben dir eine pn geschickt!!!!!!!!!!
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