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Hallo Bastiane,
Wenn ich mich recht entsinne löst man das über die sogenannte SVD(Singular value Decomposition) denn A^+ ist ja die Pseudoinverse von A im Fall der Invertierbarkeit von A fallen diese Begriffe zusammen aber i.A. nicht.
gruß
mathemaduenn
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:49 Fr 03.12.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Hier geht einiges durcheinander. 
> Ich soll die Moore-Penrose-Axiome beweisen, z. B.:
> [mm](A^{+}A)^{T}=A^{+}A[/mm] wobei [mm]A^{+}[/mm] die Pseudoinverse mit
> [mm][mm] A^{+}=(A^{T})^{-1}A^{T}
[/mm]
Wenn das die Definition wäre, bräuchte man keine Pseudoinverse, denn dann wäre bereits $A$ invertierbar. Was du vermutlich meintest, ist
$A^+ = [mm] (A^TA)^{-1}A^T$.
[/mm]
Das ist genau dann die Pseudoinverse von $A$, wenn $A [mm] \in [/mm] Mat(m [mm] \times n,\IR)$ [/mm] mit $m [mm] \ge [/mm] n$ und $Rang(A)=n$ gilt. Aber in diesem Fall ist die zu zeigende Aussage ja trivial, denn dann steht auf beiden Seiten die Einheitsmatrix.
Insofern vermute ich mal, dass ihr die Moore-Penrose-Axiome für beliebige $m [mm] \times [/mm] n$-Matrizen zeigen sollt, oder?
Kannst du mal die Aufgabenstellung ganz wörtlich angeben? Und alles aufschreiben (insbesondere die Definitionen ), was ihr zu Pseudoinversen bisher hattet?
Hier muss auf jeden Fall ein Missverständnis vorliegen.
Nach der üblichen Definition ($A^+$ ist die Matrix, so dass $b=A^+x$ das Minimierungsproblem [mm] $\Vert [/mm] b - [mm] Ax\Vert=\min [/mm] $ löst), folgt die Behauptung anschaulich-geometrisch aus der Tatsache, dass $A^+A$ eine Projektion von [mm] $\IR^n$ [/mm] auf das orthogonale Komplement des Kerns von $A$ ist und solche Projektionen immer symmetrisch sind. Aber wenn ich deine exakten Definitionen habe, kriege ich (oder jemand anders) das auch noch direkter und für dich nachvollziehbarer hin, keine Sorge. 
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:08 Fr 03.12.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo ihr zwei!
Hab' ich mir doch gedacht, dass es nicht so einfach gehe - wäre ja auch langeweilig! (Naja, aber dann könnte ich die Punkte vielleicht einfacher holen...)
[mm]A^+ = (A^TA)^{-1}A^T[/mm].
Ja, sorry, hier hatte ich mich natürlich verschrieben! (war schon spät heute nacht...)
Das ist genau dann die Pseudoinverse von [mm]A[/mm], wenn [mm]A \in Mat(m \times n,\IR)[/mm] mit [mm]m \ge n[/mm] und [mm]Rang(A)=n[/mm] gilt. Aber in diesem Fall ist die zu zeigende Aussage ja trivial, denn dann steht auf beiden Seiten die Einheitsmatrix.
Insofern vermute ich mal, dass ihr die Moore-Penrose-Axiome für beliebige [mm]m \times n[/mm]-Matrizen zeigen sollt, oder?
Ja, wahrscheinlich, ich habe mir die Sachen aus der Vorlesung noch nicht angeguckt...
Kannst du mal die Aufgabenstellung ganz wörtlich angeben? Und alles aufschreiben (insbesondere die Definitionen ), was ihr zu Pseudoinversen bisher hattet?
Werde ich machen, sobald ich Zeit habe, mich damit genauer zu befassen (es hat ja im Moment zum Glück noch keine Eile...).
Okay, also danke schonmal und ich melde mich wieder.
Viele Grüße
Christiane
![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]")
P. S.: Komisch, warum sind die Zitate jetzt nicht als solche markiert? Mmh, ich hoffe, das verwirrt nicht, also das meiste hier von dem Text war wohl von dir, Stefan.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:37 Mo 06.12.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Stefan!
So, jetzt habe ich mich mal ein klitzekleines bisschen darein gelesen...
Also, die exakte Aufgabenstellung ist:
Sei [mm] A\in\IR^{m\times n} [/mm] eine Matrix. Beweise die Moore-PenroseAxiome [mm] (A^{+}A)^{T} [/mm] usw..
Hier steht also wirklich nichts von Invertierbarkeit, also muss ich das wohl für allgemeine Matrizen zeigen, wäre ja sonst auch viel zu einfach gewesen. (Und jetzt weiß ich auch, dass das nur bei invertierbaren Matrizen so einfach geht... )
So, was wir alles zur Pseudoinversen aufgeschrieben haben, lässt sich schlecht wiedergeben, weil das alles so durcheinander ist, und jedenfalls ich nicht durchblicke. Was ich aber z. B. mitbekommen habe (teilweise auch im Buch nachgelesen):
die Lösung des Minimierungsproblems [mm] ||b-Ax\Vert=\min [/mm] ist [mm] x=A^{+}b [/mm] (du hattest [mm] \Vert b-Ax\Vert=\min [/mm] geschrieben, das scheint wohl dasselbe zu sein?)
ansonsten eben genau die Definition [mm] A^{+}=(A^{T} A)^{-1} A^{T} [/mm] (ich hoffe, diesmal habe ich mich nicht verschrieben...)
Und mittlerweile haben wir auch noch die Singulärwertzerlegung gemacht, und ich vermute, dass wir es damit zeigen sollen.
Jedenfalls steht in einem Skript bei der Singulärwertzerlegung nach der Definition dieser und der Pseudoinversen: "Wichtige Eigenschaften der Pseudoinversen sind
Eigenschaften 4.4.6 Für A und [mm] A^{+} [/mm] gelten die Moore-Penrose-Axiome [...]" und da sind die dann alle vier aufgezählt.
Aber ich habe gerade festgestellt, dass an anderer Stelle in einem Buch steht:
"Satz 3.16 Die Pseudoinverse [mm] A^{+} \in Mat_{n,m}(R) [/mm] einer Matrix [mm] A\in Mat_{m,n}(R) [/mm] ist eindeutig charakterisiert durch folgende vier Eigenschaften:
[...] [hier sind die wieder aufgezählt]
Beweis: Wir haben bereits gesehen, dass [mm] A^{+} [/mm] die Eigenschaften i) bis iv) erfüllt, da [mm] A^{+} [/mm] A und [mm] AA^{+} [/mm] orthogonale Projektionen auf N(A) ("orthogonal") = [mm] R(A^{+}) [/mm] bzw. R(A) sind. [...]"
Mmh, soll ich das jetzt doch vielleicht so anschaulich erklären?
Jedenfalls wäre es vielleicht nicht schlecht, wenn du mir die Aufgabe für den Teil [mm] (A+A)^{T}=A^{+} [/mm] A mal vorrechnen könntest, den Rest versuche ich dann mal alleine.
Übrigens soll man am Ende noch zeigen: [mm] (A^{+})^{+}=A [/mm] - kann ich dafür dann die Penrose-Axiome verwenden oder warum sollte ich die vorher zeigen? Aber wie?
Viele Grüße
Christiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:44 Mi 08.12.2004 | | Autor: | Stefan |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Liebe Christiane!
Hast du es denn mit den Singulärwertzerlegungen jetzt mal versucht?
Damit ist es doch ganz einfach, wenn ich mich nicht irre (ich selber habe das nie gelernt, wir haben damit in PraMa nicht gearbeitet).
Ist $A=U\Sigma V^T$ die Singulärwertzerlegung von $A$, so hat $A^+$ bekanntlich eine Singulärwertzerlegung der Form $V\tilde{\Sigma}U^T$.
Dann gilt:
$(AA^+)T$
$ = (U\Sigma V^T V \tilde{\Sigma} U^T)^T$
$= (U \Sigma \tilde{\Sigma} U^T)^T$
(da $V$ orthogonal ist, also $V^T = V^{-1}$)
$= U \tilde{\Sigma}^T \Sigma^T U^T$
$= U \tilde{\Sigma} \Sigma U^T$
(da $\tilde{\Sigma}$ und $\Sigma$ Diagonalmatrizen und damit symmetrisch sind)
$= U \Sigma \tilde{\Sigma} U^T$
(da $\tilde{\Sigma}$ und $\Sigma}$ Diagonalmatrizen sind und damit vertauschen)
$= U \Sigma V^T V \tilde{\Sigma} U^T$
$= A A^+$.
So sollten auch die anderen drei Gleichungen zu zeigen sein, nehme ich mal an.
Versuchst du es bitte selber mal?
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:11 Mi 08.12.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Stefan!
> Hast du es denn mit den Singulärwertzerlegungen jetzt mal
> versucht?
Nein, ich hatte es noch nicht versucht, weil ich mir nicht sicher war, ob ich das jetzt damit machen soll. Dabei hatte mathemaduenn mir das ja von Anfang an geraten...
> Damit ist es doch ganz einfach, wenn ich mich nicht irre
> (ich selber habe das nie gelernt, wir haben damit in PraMa
> nicht gearbeitet).
Ja, du hast Recht, es ist wieder nur "Rechnerei" (und diesmal nicht nur im Nachhinein ).
> Versuchst du es bitte selber mal?
Natürlich habe ich es versucht! Schließlich muss ich ja auch mal selber etwas machen und das war ja wirklich nur Hinschreiben. Deswegen schreibe ich es hier auch gar nicht auf. Nur den letzten Teil:
zz: [mm] (A^{+})^{+}=A [/mm]
(ich hoffe, dich verwirrt nicht, dass ich die Dinger jetzt mal etwas anders benenne als du...)
Nun habe ich [mm] A^{+}=VS^{+}U^{T} [/mm] =: B
Dann hätte ich:
[mm] (A^{+})^{+}=B^{+}
[/mm]
und das wäre [mm] =USV^{T} [/mm] (aber muss man das noch begründen? Ich habe es irgendwie gesehen...)
Und dann wollte ich nochmal alles drunterschreiben, warum das so gilt (was du in Klammern dahintergeschrieben hast), damit ich es nicht an jedes Gleichheitszeichen schreiben muss.
Da man das bei dir mit den Formeln leider irgendwie so ziemlich gar nicht gut lesen konnte, schreibe ich es jetzt nochmal so, wie ich es aufschreiben will, wahrscheinlich ist es genau dasselbe, was du geschrieben hast:
es gilt:
[mm] I=V^{T}V=VV^{T}=U^{T}U=UU^{T} [/mm] weil V und U Orthogonalmatrizen sind
[mm] (S^{+})^{T}=S^{+} [/mm] und [mm] S^{T}=S [/mm] und [mm] SS^{+}=S^{+}S [/mm] weil [mm] S^{+} [/mm] eine Diagonalmatrix ist und somit symmetrisch
[mm] S^{+}S=I [/mm] nach Definition von [mm] S^{+}
[/mm]
[mm] S^{+}=S
[/mm]
also bei den letzten zwei bin ich mir nicht so sicher, vor allem bei dem letzten nicht. Aber für meinen letzten Beweis brauchte ich es, jedenfalls ging's damit ganz schnell. Stimmt das denn so? Irgendwie komme ich langsam total durcheinander, diese ganzen + und T und *brrrrr*.
Viele Grüße
Christiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:54 Do 09.12.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
> Nein, ich hatte es noch nicht versucht, weil ich mir nicht
> sicher war, ob ich das jetzt damit machen soll. Dabei hatte
> mathemaduenn mir das ja von Anfang an geraten...
Es ist auch die einfachste Möglichkeit. Aber natürlich kann man es auch über die Definition (als orthogonale Projektion) machen.
> Deswegen schreibe ich es hier auch gar nicht
> auf.
Wäre aber besser, du würdest das zur Kontrolle tun.
> Nur den letzten Teil:
> zz: [mm](A^{+})^{+}=A[/mm]
> (ich hoffe, dich verwirrt nicht, dass ich die Dinger jetzt
> mal etwas anders benenne als du...)
Nein, nein, damit komme ich schon klar.
> Nun habe ich [mm]A^{+}=VS^{+}U^{T}[/mm] =: B
> Dann hätte ich:
> [mm](A^{+})^{+}=B^{+}
[/mm]
> und das wäre [mm]=USV^{T}[/mm] (aber muss man das noch begründen?
> Ich habe es irgendwie gesehen...)
Das muss man schon begründen. Es folgt aber sofort aus $(S^+)^+=S$.
> Und dann wollte ich nochmal alles drunterschreiben, warum
> das so gilt (was du in Klammern dahintergeschrieben hast),
> damit ich es nicht an jedes Gleichheitszeichen schreiben
> muss.
> Da man das bei dir mit den Formeln leider irgendwie so
> ziemlich gar nicht gut lesen konnte,
Wieso kann man die denn nicht gut lesen? Ich kann alles bestens erkennen. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
> schreibe ich es jetzt
> nochmal so, wie ich es aufschreiben will, wahrscheinlich
> ist es genau dasselbe, was du geschrieben hast:
>
> es gilt:
> [mm]I=V^{T}V=VV^{T}=U^{T}U=UU^{T}[/mm] weil V und U
> Orthogonalmatrizen sind
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") (hatte ich schon geschrieben)
> [mm](S^{+})^{T}=S^{+}[/mm] und [mm]S^{T}=S[/mm] und [mm]SS^{+}=S^{+}S[/mm] weil [mm]S^{+}[/mm]
> eine Diagonalmatrix ist und somit symmetrisch
(hatte ich schon geschrieben)
> [mm]S^{+}S=I[/mm] nach Definition von [mm]S^{+}
[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") (brauchte ich bei mir nicht, stimmt auch nicht: denn es können auf der Diagonalen neben $1$en ebentuell auch $0$en stehen, es gibt also sozusagen i.A. nur eine Einheits-Untermatrix)
> [mm]S^{+}=S
[/mm]
Das habe ich so hoffentlich auch nicht aufgeschrieben, denn es ist ebenfalls falsch. Stattdessen gilt: $(S^+)^+=S$.
> Irgendwie komme ich langsam total
> durcheinander, diese ganzen + und T und *brrrrr*.
Das kann ich gut verstehen.
Liebe Grüße
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:33 Do 09.12.2004 | | Autor: | Bastiane |
Guten Morgen... ![[morgaehn]](/images/smileys/morgaehn.gif "[morgaehn]")
> > Deswegen schreibe ich es hier auch gar nicht
> > auf.
>
> Wäre aber besser, du würdest das zur Kontrolle tun.
Naja, das nächste Mal mache ich es wieder. Diesmal war es mir zu spät - ich war froh, dass ich mal früh im Bett war. Und es ging ja ganz genauso.
> > (ich hoffe, dich verwirrt nicht, dass ich die Dinger
> jetzt
> > mal etwas anders benenne als du...)
>
> Nein, nein, damit komme ich schon klar.
Ich dachte ja nur - wo du das nie gelernt hast...
> [mm](S^+)^+=S[/mm].
Mmh, ich habe jetzt mal einfach geschrieben, dass das nach Definition von S gilt, oder ist das verkehrt?
> > Da man das bei dir mit den Formeln leider irgendwie so
>
> > ziemlich gar nicht gut lesen konnte,
>
> Wieso kann man die denn nicht gut lesen? Ich kann alles
> bestens erkennen.
Ja, jetzt konnte ich es auch lesen. Aber vielleicht waren die Formeln noch nicht fertig, jedenfalls konnte ich es gestern überhaupt nicht lesen. Auch nicht, wenn ich drauf geklickt habe. Zum Glück kenne mich aber damit mittlerweile so gut aus, dass ich auch den Quelltext (nennt sich das hier so?) lesen konnte...
Okay, ich denke mal, das stimmt jetzt schon irgendwie so.
Viele Grüße
Christiane
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