Prüfen: (Absolute) Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:11 So 27.11.2011 | | Autor: | JohnB |
| Aufgabe | Man bestimme, ob die folgenden Reihe konvergiert bzw. absolut konvergiert:
$ [mm] \summe_{k=1}^{\infty} (-1)^k [/mm] * [mm] \bruch{k^2}{(2+1/k)^k} [/mm] $ |
Also, ich benutze das Konvergenzkriterium:
$ | [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n} [/mm] | [mm] \le [/mm] q<1 $
Es ergibt sich beim einsetzen:
$ [mm] \bruch{(k+1)^2*(2+\bruch{1}{k})^k}{(2+\bruch{1}{k+1})^{k+1}*k^2}) [/mm] $
$ [mm] =\bruch{(k+1)^2}{k^2}*\bruch{(2+\bruch{1}{k})^k}{(2+\bruch{1}{k+1})^{k+1}} [/mm] $
$ [mm] =\bruch{k^2+2k+1}{k^2}*\bruch{(2+\bruch{1}{k})^k}{(2+\bruch{1}{k+1})^{k+1}} [/mm] $
Weiter weiß ich leider nicht. Was ich derzeit sagen kann, ist, dass der linke Bruch größer als 1 ist. Nur wie soll ich den rechten Bruch weiter vereinfachen?
Ich danke für Hilfe!
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Hi John,
> Man bestimme, ob die folgenden Reihe konvergiert bzw. absolut konvergiert:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} (-1)^k * \bruch{k^2}{(2+1/k)^k}[/mm]
>
> Also, ich benutze das Konvergenzkriterium:
> $ | [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n} [/mm] | [mm] \le [/mm] q<1 $
Das funktioniert zwar, aber ich würde empfehlen vorher mit dem Majorantenkriterium nach oben abzuschätzen:
[mm] \left|(-1)^k\bruch{k^2}{(2+1/k)^k}\right|\leq\bruch{k^2}{2^k}.
[/mm]
Auf die Folge auf der rechten Seite passt das Quotientenkriterium nun sehr gut.
LG
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