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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:48 Mi 07.04.2010 | | Autor: | ChristophPo |
| Aufgabe |
(Schnittpunkt von Geraden)
Berechnen Sie die Schnittpunkte der folgenden Geradenpaare in der gewöhnlichen und in der projektiven Ebene:
a) x + 2y + 3 = 0; 2x + y + 1 =0
b) x + 3 = 0; x + 5 = 0
c) y = 2x + 4; y = 2x + 7 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
da die homogenen Koordinaten durchdrungen wurden geht es jetzt weiter in die projektive Ebene. Wir haben die Geraden aus a) (die müssten ja eigentlich in der affinen Ebene angegeben sein, oder nicht? schneiden lassen und den Schnittpunkt s=(1/3; -5/3) herausbekommen. Nun stehen wir aber vor folgendem Problem, alle Punkte der x1x2 Ebene liegen ja unendlichen weit von der projektiven Ebene (z=1) entfernt, oder? Von daher lassen sich die Geraden doch gar nicht auf diese Ebene projizieren, oder wie ist das?
Vielen Dank für die Hilfe,
Christoph
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:54 Mi 07.04.2010 | | Autor: | abakus |
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> (Schnittpunkt von Geraden)
> Berechnen Sie die Schnittpunkte der folgenden Geradenpaare
> in der gewöhnlichen und in der projektiven Ebene:
> a) x + 2y + 3 = 0; 2x + y + 1 =0
> b) x + 3 = 0; x + 5 = 0
> c) y = 2x + 4; y = 2x + 7
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Hallo,
> da die homogenen Koordinaten durchdrungen wurden geht es
> jetzt weiter in die projektive Ebene. Wir haben die Geraden
> aus a) (die müssten ja eigentlich in der affinen Ebene
> angegeben sein, oder nicht? schneiden lassen und den
> Schnittpunkt s=(1/3; -5/3) herausbekommen. Nun stehen wir
> aber vor folgendem Problem, alle Punkte der x1x2 Ebene
> liegen ja unendlichen weit von der projektiven Ebene (z=1)
> entfernt, oder? Von daher lassen sich die Geraden doch gar
> nicht auf diese Ebene projizieren, oder wie ist das?
Hallo,
das kommt ganz darauf an...
Projizieren kann man auf sehr viele verschiedene Arten
(zentral, parallel, Mercatorprojektion, ...)
Wie lautet eure Projektionsvorschrift?
Gruß Abakus
> Vielen Dank für die Hilfe,
> Christoph
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Also im Sinne der Vorschrift werden beliebige Punkt derart abgebildet, dass die Ursprungsgerade die mit O und dem Punkt inzidiert mit der projektiven Ebene z=1 geschnitten wird. Der Schnittpunkt ist dann der projizierte Punkt. D.h. konkret wenn man den Punkt (4,5,8) hat, so ist der projektive Punkt logischerweise der mit der Z- Koordinate 1 --> (1/2; 5/8, 1). Entsprechend lassen sich Punkte in der x1x2 ebene lediglich über den Fernpunkt abbilden, den die Gerade mit der proj. Ebene gemeinsam hat. verständlich?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:48 Mi 07.04.2010 | | Autor: | abakus |
> Also im Sinne der Vorschrift werden beliebige Punkt derart
> abgebildet, dass die Ursprungsgerade die mit O und dem
> Punkt inzidiert mit der projektiven Ebene z=1 geschnitten
> wird. Der Schnittpunkt ist dann der projizierte Punkt. D.h.
> konkret wenn man den Punkt (4,5,8) hat, so ist der
> projektive Punkt logischerweise der mit der Z- Koordinate 1
> --> (1/2; 5/8, 1). Entsprechend lassen sich Punkte in der
> x1x2 ebene lediglich über den Fernpunkt abbilden, den die
> Gerade mit der proj. Ebene gemeinsam hat. verständlich?
Ja.
Wie ist der Fernpunkt definiert? Einfach nur als diffuses "unendlich" oder als Punkte der Ebene z=1, dessen Lage sich bezüglich der x-y-Koordinaten auch ersatzweise mit Polarkoordinaten [mm] (\infty,\phi) [/mm] beschreiben lässt?
So könnte mamn wenigstens angeben, in welcher "Richtung" unser "unendlich" liegt.
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Hmm soweit habe ich das verstanden, für jeden Unendlichen Punkt gibt es einen Richtungsvektor der diesen Bestimmt, woraus ja auch folgt, dass alle Parallelen Geraden sich in einem Punkt treffen.
Aber damit ist immer noch nicht das Problem gelöst, wie man Geraden aus der Ebene x1x2 projiziert. Oder ist des Rätsels lösung, dass sich diese gar nicht projizieren lassen? Aber dann wäre die Aufgabe ja totaler Murks oder nicht? Dann würde ja bei a,b,c jeweils nichts rauskommen, das kann ja auch nicht sein...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:33 Mi 07.04.2010 | | Autor: | abakus |
> Hmm soweit habe ich das verstanden, für jeden Unendlichen
> Punkt gibt es einen Richtungsvektor der diesen Bestimmt,
> woraus ja auch folgt, dass alle Parallelen Geraden sich in
> einem Punkt treffen.
>
> Aber damit ist immer noch nicht das Problem gelöst, wie
> man Geraden aus der Ebene x1x2 projiziert. Oder ist des
> Rätsels lösung, dass sich diese gar nicht projizieren
> lassen? Aber dann wäre die Aufgabe ja totaler Murks oder
> nicht? Dann würde ja bei a,b,c jeweils nichts rauskommen,
> das kann ja auch nicht sein...
Hallo,
die beiden Geraden von b) verlaufen parallel in y-Richung, also schneiden sie sich im Unendlichen, Richtung "oben" bzw. "Unten".
Bei a) gibt es einen "realen" Schnittpunkt, dessen projizierten Fernpunkt du sicherlich angeben musst.
Gruß Abakus
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