Projektiv Gerade Surjektiv < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:42 Di 07.02.2012 | | Autor: | diab91 |
| Aufgabe | Wir definieren für v = (v1,v2), w = (w1,w2) [mm] \in \IR^{2} \backslash \{(0,0)\}
[/mm]
v [mm] \sim [/mm] w [mm] \gdw \exists \lambda \in \IR \backslash \{0\}: [/mm] v = [mm] \lambda*w. [/mm] Dabei ist [mm] \sim [/mm] eine Äquivalenzrelation. Man nennt die Menge [mm] \IP_{\IR}^{1} [/mm] der Äquivalenzklassen die projektive Gerade über [mm] \IR. [/mm] Zeige, dass die Abbildung f: [mm] S^{1} \to \IP_{\IR}^{1}, [/mm] (x,y) [mm] \mapsto \overline{(x,y)} [/mm] surjektiv ist, wobei [mm] S^{1} [/mm] der Kreis vom Radius Eins um den Mittelpunkt (0,0) bezeichne. |
Hallo,
anschaulich gesehen muss man ja zeigen, dass jede dieser Geraden den Einheitskreis schneidet. Nun sei [mm] \overline{(x,y)} \in \IP_{IR}^{1}. [/mm] Zeige: Es gibt (x,y) [mm] \in S^{1}: [/mm] f((x,y)) = [mm] \overline{(x,y)}. [/mm] Ich hab nun folgendes versucht: Setze [mm] \lambda:= \wurzel{ \bruch{1}{x^{2}+y^{2}}}. [/mm] Sei nun (x,y) [mm] \in \overline{(x,y)}. [/mm] Dann ist aber auch [mm] \lambda*(x,y) \in \overline{(x,y)} [/mm] und [mm] \lambda*(x,y) \in S^{1}. [/mm] Also gilt: [mm] f((\lambda*x, \lambda*y)) [/mm] = [mm] \overline{(x,y)}. [/mm] Somit ist f surjektiv. Ist das so korrekt?
Liebe Grüße,
Diab91
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:07 Di 07.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Wir definieren für v = (v1,v2), w = (w1,w2) [mm]\in \IR^{2} \backslash \{(0,0)\}[/mm]
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> v [mm]\sim[/mm] w [mm]\gdw \exists \lambda \in \IR \backslash \{0\}:[/mm] v =
> [mm]\lambda*w.[/mm] Dabei ist [mm]\sim[/mm] eine Äquivalenzrelation. Man
> nennt die Menge [mm]\IP_{\IR}^{1}[/mm] der Äquivalenzklassen die
> projektive Gerade über [mm]\IR.[/mm] Zeige, dass die Abbildung f:
> [mm]S^{1} \to \IP_{\IR}^{1},[/mm] (x,y) [mm]\mapsto \overline{(x,y)}[/mm]
> surjektiv ist, wobei [mm]S^{1}[/mm] der Kreis vom Radius Eins um den
> Mittelpunkt (0,0) bezeichne.
> Hallo,
>
> anschaulich gesehen muss man ja zeigen, dass jede dieser
> Geraden den Einheitskreis schneidet. Nun sei
> [mm]\overline{(x,y)} \in \IP_{IR}^{1}.[/mm] Zeige: Es gibt (x,y) [mm]\in S^{1}:[/mm]
> f((x,y)) = [mm]\overline{(x,y)}.[/mm] Ich hab nun folgendes
> versucht: Setze [mm]\lambda:= \wurzel{ \bruch{1}{x^{2}+y^{2}}}.[/mm]
> Sei nun (x,y) [mm]\in \overline{(x,y)}.[/mm] Dann ist aber auch
> [mm]\lambda*(x,y) \in \overline{(x,y)}[/mm] und [mm]\lambda*(x,y) \in S^{1}.[/mm]
> Also gilt: [mm]f((\lambda*x, \lambda*y))[/mm] = [mm]\overline{(x,y)}.[/mm]
> Somit ist f surjektiv. Ist das so korrekt?
Ja
FRED
>
> Liebe Grüße,
> Diab91
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:08 Di 07.02.2012 | | Autor: | diab91 |
Vielen Dank :).
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