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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:17 Mi 15.06.2005 | | Autor: | Edi1982 |
Hallo Leute
Ich habe bis Ende der Woche folgende Aufgabe:
Sei P: V [mm] \to [/mm] V eine lineare Abbildung mit P [mm] \circ [/mm] P = P.
Zeigen Sie, dass P diagonalisierbar ist.
Was sind die Eigenwerte?
Also ich weiss, dass P dann diagonalisierbar ist, wenn das charakteristische Polynom n Nullstellen hat.
Dies bringt mich aber hier nicht weiter.
Brauche Hilfe.
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Gruß!
Das ist eine sehr beliebte Aufgabe. Sie ist auch nicht schwer, allerdings nur, wenn man weiß wie es geht. Deshalb hier ein kleiner Hinweis:
Sei [mm] $U_1 [/mm] := [mm] \mbox{kern } [/mm] P$ und [mm] $U_2 [/mm] := [mm] \mbox{Bild } [/mm] P$. Zeige dann:
$V = [mm] U_1 \oplus U_2$.
[/mm]
Dann folgt die Behauptung sofort.
Lars
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:42 Do 16.06.2005 | | Autor: | blablub |
und wieso folgt daraus sofort die behauptung?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:59 Do 16.06.2005 | | Autor: | SEcki |
> und wieso folgt daraus sofort die behauptung?
Also, das mit Diagonalisierbar ist so eh nicht richtig, da P ja nicht invertierbar sein muss. Allerdings kann man es einrichten, daß man eine Basis findet, so dass auf der Diagonalen Rang-viele Einser stehen, sonst nur 0er.
Zu der Zerlegung: am besten man zeigt noch gleich, dass P auf seinem Bild mit der Identität übereinstimmt. Dann kann man das Bild einfach mal zu einer Basis ergänzen und zeigen, dass das dann der Kern ist.
SEcki
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