Projektionen affine Abbildung < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:22 So 22.11.2015 | | Autor: | Joker08 |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass Dilatationen und Projektionen affine Abbildungen sind. Wie sehen die entsprechenden zugehörigen linearen Abbildungen aus? |
Also das eine Dilatation eine affine Abbildung ist habe ich bereits hinbekommen.
Mein Problem liegt bei der Projektion.
Die Definition einer Projektion lautet wie folgt.
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[mm] \underline{Definition}:
[/mm]
Seien $X$ ein affiner Raum, $Y$ eine nichtleerer affiner UR. von $X$, [mm] $W\subseteq V_X$ [/mm] ein [mm] $\mathbb{K}$-linearer [/mm] Unterraum von [mm] $V_X$, [/mm] mit [mm] $W\oplus V_Y [/mm] = [mm] V_X$ [/mm] und [mm] $A\in [/mm] X$.
Eine Abbildung [mm] $\varphi: X\to [/mm] X$ heißt Projektion auf $Y$ parallel zu $W$, wenn [mm] $\varphi(B) \in [/mm] Y$ und [mm] $\overrightarrow{B\varphi(B)}\in [/mm] W$ für alle [mm] $B\in [/mm] X$ ist.
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Um zu zeigen, dass [mm] \varphi [/mm] affin ist müssen wir zeigen, dass:
[mm] $\overrightarrow{\varphi}(\overrightarrow{AB})=\overrightarrow{\varphi(A)\varphi(B)}$
[/mm]
Mein Ansatz beschränkt sich allerdings bislang auf folgendes.
Sei [mm] $A,B\in [/mm] X$ und [mm] $\varphi(A)$, $\varphi(B)\in [/mm] Y$.
Dann gilt nach definition:
[mm] $\varphi(A) \Rightarrow \overrightarrow{A\varphi(A)} \in [/mm] W$
[mm] $\varphi(B) \Rightarrow \overrightarrow{B\varphi(B)} \in [/mm] W$
Nach der Dreiecksgleichung gilt:
[mm] $\overrightarrow{\varphi(A)\varphi(B)}=\overrightarrow{A\varphi(A)}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B\varphi(B)}$.
[/mm]
Wegen [mm] $\overrightarrow{A\varphi(A)}= -\overrightarrow{\varphi(A)A}$ [/mm] und der Abgeschlossenheit von $W$, wären also [mm] $\overrightarrow{A\varphi(A)}$, $\overrightarrow{B\varphi(B)}\in [/mm] W$.
[mm] $\overrightarrow{AB}\in V_X$. [/mm]
Und nun weiss ich nicht so recht, wie ich von dort aus weiter machen soll da mir das irgendwie überhaupt nichts bringt. Ich muss ja nun eine lineare Abbildung [mm] $\overrightarrow{\varphi}$ [/mm] finden sodass die gleichheit gilt.
Kann mir jemand vll einen kleinen Tipp geben?
Mit freundlichen Grüßen,
der Joker
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Di 24.11.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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