Projektionen S<=T < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:09 Fr 24.10.2014 | | Autor: | Samyy |
Hallo,
eine exakte Aufgabenstellung gibt es nicht. Ich wollte gerne nachvollziehen, warum folgende Äquivalenz gilt:
Sei H ein Hilbertraum und S,T zwei Projektionen in H. Dann gilt:
[mm] $(x,Sx)\leq [/mm] (x,Tx) , [mm] \forall x\in [/mm] H<=> [mm] im(S)\subset [/mm] im(T)$
Was ich bisher habe:
"<="
Falls [mm] x\in [/mm] im(S), dann gilt Sx=x=Tx und somit (x,Sx)=(x,x)=(x,Tx). Falls [mm] $x\notin [/mm] im(S)$, dann S(x)=0 und somit aufgrund der Symmetrie von T: [mm] (x,Sx)=0\leq [/mm] (Tx,Tx)=(x,T^2x)=(x,Tx).
"=>" Falls [mm] $x\in [/mm] ker(T)$, dann auch [mm] $x\in [/mm] ker(S)$. Somit gilt [mm] $ker(T)\subset [/mm] ker(S)$. Also wegen der Zerlegung [mm] H=ker(T)\oplus [/mm] im(T), muss auch [mm] im(T)\subset [/mm] im(S) liegen.
Wäre das ein korrekter Beweis? Irgendwie bin ich mir bei dem letzten Schritt unsicher.
Viele Grüsse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:14 Fr 24.10.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> eine exakte Aufgabenstellung gibt es nicht. Ich wollte
> gerne nachvollziehen, warum folgende Äquivalenz gilt:
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> Sei H ein Hilbertraum und S,T zwei Projektionen in H. Dann
> gilt:
> [mm](x,Sx)\leq (x,Tx) , \forall x\in H<=> im(S)\subset im(T)[/mm]
>
> Was ich bisher habe:
>
> "<="
> Falls [mm]x\in[/mm] im(S), dann gilt Sx=x=Tx und somit
> (x,Sx)=(x,x)=(x,Tx).
O.K.
> Falls [mm]x\notin im(S)[/mm], dann S(x)=0
Nein ! Das muss nicht gelten.
Mach so weiter: falls S(x)=0, so folgt
> aufgrund der Symmetrie von T: [mm](x,Sx)=0\leq[/mm]
> (Tx,Tx)=(x,T^2x)=(x,Tx).
Jetzt der allgemeine Fall: sei x [mm] \in [/mm] H. Wegen $ [mm] H=ker(S)\oplus [/mm] $ im(S) gibt es u [mm] \in [/mm] ker(S) und v [mm] \in [/mm] im(S) mit: x= u+v.
Zeige nun mit dem schon Gezeigten: (x,Sx) [mm] \le [/mm] (x,Tx).
>
> "=>" Falls [mm]x\in ker(T)[/mm], dann auch [mm]x\in ker(S)[/mm].
Das solltest Du noch sauber zeigen ( mit der Vor. [mm] (x,Sx)\leq [/mm] (x,Tx) , [mm] \forall x\in [/mm] H)
> Somit gilt
> [mm]ker(T)\subset ker(S)[/mm]. Also wegen der Zerlegung
> [mm]H=ker(T)\oplus[/mm] im(T), muss auch [mm]im(T)\subset[/mm] im(S) liegen.
Auch das solltest Du noch ausführlicher zeigen !
FRED
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> Wäre das ein korrekter Beweis? Irgendwie bin ich mir bei
> dem letzten Schritt unsicher.
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> Viele Grüsse
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