Projektion & Stetigkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:24 Fr 09.05.2014 | | Autor: | Petrit |
| Aufgabe | (a) Zeigen Sie, dass durch die Projektionen [mm] p_{1}: (x,y)\mapsto [/mm] x und [mm] p_{2}: (x,y)\mapsto [/mm] y stetige Funktionen [mm] {\IR}^{2} \to \IR [/mm] gegeben sind.
(b) Folgern Sie, dass auch die Funktionen f: [mm] (x,y)\mapsto [/mm] x*y, g: [mm] (x,y)\mapsto [/mm] x+y, sowie h: [mm] (x,y)\mapsto 3x^3+2xy^2+y^4+1 [/mm] stetige Funktionen von [mm] {\IR}^2 [/mm] nach [mm] \IR [/mm] sind. |
Hi!
Ich hab ein kleines Problemchen mit dieser Aufgabe. Und zwar weiß ich überhaupt nicht, wie ich dies zeigen könnte. Ich glaube allerdings, wenn ich wüsste, wie man Teil a lösen könnte, müsste ich doch dann auch Teil b zeigen können. Allerdings habe ich überhaupt keinen Plan, wie ich ansetzen könnte. Ich hoffe, ihr könnt mir diesbezüglich ein paar Tipp/Hinweise bzw. einen Ansatz geben, wie ich das zeigen kann.
Ich bin für jeden Hinweis dankbar.
Viele Grüße, Petrit!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:34 Fr 09.05.2014 | | Autor: | fred97 |
Zu [mm] p_1:
[/mm]
1. Möglichkeit [mm] (||*||_2 [/mm] bez. die Euklidische Norm auf [mm] \IR^2): [/mm] Seien $(x,y), (u,v) [mm] \in \IR^2$. [/mm] Dann gilt:
[mm] $|p_1(x,y)-p_1(u,v)|=|x-u|= \wurzel{(x-u)^2} \le \wurzel{(x-u)^2+(y-v)^2}=||(x,y)-(u,v)||_2$
[/mm]
Das zeigt, dass [mm] p_1 [/mm] sogar Lipschitzstetig ist.
2. Möglichkeit (damit bekommt man nur die Stetigkeit):
Sei [mm] (x_0,y_0) \in \IR^2 [/mm] und [mm] ((x_n,y_n)) [/mm] eine Folge in [mm] \IR^2, [/mm] die gegen [mm] (x_0,y_0) [/mm] konvergiert. Dann haben wir [mm] x_n \to x_0 [/mm] (für $n [mm] \to \infty$). [/mm] Folglich:
[mm] p_1(x_n,y_n)=x_n \to x_0=p_1(x_0,y_0).
[/mm]
[mm] p_1 [/mm] ist daher in [mm] (x_0,y_0) [/mm] stetig. Da [mm] (x_0,y_0) [/mm] beliebig war, ist [mm] p_1 [/mm] auf [mm] \IR^2 [/mm] stetig.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:46 Fr 09.05.2014 | | Autor: | Petrit |
Super, danke.
Ich glaub, ich hab's verstanden.
Dann müsste dasselbe ja uch für [mm] p_{2} [/mm] gelten?
Den Rest versuche ich mal!
Gruß Petrit!
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$ [mm] (x,y)\mapsto 3x^3+2xy^2+y^4+1 [/mm] $
Durch welche Kombination von p1 und p2 soll man h erhalten?
Auf den ersten Blick hielt ich es für eine binomische Formel, aber irgendwie passt da nichts wirklich wegen dem 3 Mal x hoch 3 am Anfang.
Das würde mich jetzt schon interessieren wie das funktionieren soll :)
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Hallo,
> [mm](x,y)\mapsto 3x^3+2xy^2+y^4+1[/mm]
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> Durch welche Kombination von p1 und p2 soll man h
> erhalten?
>
> Auf den ersten Blick hielt ich es für eine binomische
> Formel, aber irgendwie passt da nichts wirklich wegen dem 3
> Mal x hoch 3 am Anfang.
Es ist doch [mm] x^3=x*x*x, [/mm] also [mm] (x,y)\mapsto{p_1(x,y)*p_1(x,y)*p_1(x,y)}
[/mm]
>
> Das würde mich jetzt schon interessieren wie das
> funktionieren soll :)
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