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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:12 Fr 06.05.2011 | | Autor: | Robibobi |
| Aufgabe | K ist ein Körper und V ein K-Vektorraum. p: V -> V ist ein bijektiver Endomorphismus. U1 ist das Bild von p, U2 dessen Kern. Zeige:
a)V=U1[mm] \oplus [/mm]U2
b)Bzgl. der Zerlegung aus a) ist p die Projektion von V nach U1 |
Also a) hab ich schonmal aber mit b) bin ich mir nicht ganz sicher weil ich die Definition von der Projektion nicht ganz verstehe ich würde aber mal behaupten, dass:
Da p ein Automorphismus ist besitzt U1 die selben Elemente wie V nur so zu sagen in "anderer Reihenfolge". Somit ordnet p die Vektoren v aus V anderen Vektoren u aus V zu welche aber wegen der Automorphie Gleichzeitig in U1 liegen. Also: p ordnet für jeden vektor v aus V einen Vektor u aus U1 zu und es handelt sich folglich um eine Projektion.
Ist das so jetzt annehmbar oder ist das Schwahsinn?
Mfg Robert
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> K ist ein Körper und V ein K-Vektorraum. p: V -> V ist ein
> bijektiver Endomorphismus. U1 ist das Bild von p, U2 dessen
> Kern. Zeige:
> a)V=U1[mm] \oplus [/mm]U2
> b)Bzgl. der Zerlegung aus a) ist p die
> Projektion von V nach U1
> Also a) hab ich schonmal aber mit b) bin ich mir nicht
> ganz sicher weil ich die Definition von der Projektion
> nicht ganz verstehe
hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
es wäre nicht so übel, wenn Du Eure Definition von "Projektion auf U" hier mal mitgeteilt hättest.
Sie ist unverzichtbar hier.
> ich würde aber mal behaupten, dass:
>
> Da p ein Automorphismus ist besitzt U1 die selben Elemente
> wie V
Ja, wenn die Abbildung p surjektiv ist, ist [mm] U_1:=Bild [/mm] p=V.
> nur so zu sagen in "anderer Reihenfolge".
???
> Somit
> ordnet p die Vektoren v aus V anderen Vektoren u aus V zu
> welche aber wegen der Automorphie Gleichzeitig in U1
> liegen.
In [mm] U_1 [/mm] liegen sie nicht, weil p ein Automorphismus ist.
Die Bilder liegen generell im Bild, egal welche Eigenschaften die Abbildung hat.
Die Besonderheit hier ist, daß das Bild den ganzen V umfaßt.
Was ist eigentlich mit dem Kern? Was ist da drin?
> Also: p ordnet für jeden vektor v aus V einen
> Vektor u aus U1 zu und es handelt sich folglich um eine
> Projektion.
Wir brauche Deine Definition von Projektion, denn diese müssen wir ja als "Maßstab" für unsere Prüfung von p nehmen.
(Ich bin mir übrigens nicht sehr sicher, daß die Behauptung, die Du zeigen sollst, stimmt. Genauer: ich meine, daß sie nicht stimmt.
Die Aufgabenstellung ist wirklich komplett im O-Ton?)
Gruß v. Angela
>
> Ist das so jetzt annehmbar oder ist das Schwahsinn?
>
> Mfg Robert
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:05 Fr 06.05.2011 | | Autor: | Robibobi |
Ja ein wenig anders war sie schon aber nur in sofern, dass da nicht "bijektiver Endo." stand sondern p:V->V ist ein Endo. mit p ° p= p. Das bedeutet aber soviel dass die Abb. selbstinvers ist und vor einiger Zeit haben wir gelernt dass rechts- und liksinverse Abbildungen bijektiv sind. Am sonsten habe ich nichts verändert.
Die Def lautet wie folgt:
Sei V ein K-Vekrorraum, U ein Untervekrorraum von V und W ein Komplement zu U. Dann heißt die Abb. p: V -> U die einen Vektor v=u+w (v aus V, u aus U, w aus W) dem Vektor u Zuordnet, die Projektion von V auf U bzgl. des Komplements W.
Von dem Kern wird nur soviel gesagt, dass er U2 heißt aber wenn ich mich nicht irre müsste da nur der Nullvektor liegen wegen der Homomorphie:
p(v)=p(0+v)=p(0)+p(v) würde p die 0 auf etwas anderes wie die Null abbilden bzw. wenn es etwas anderes gäben würde was von p auf Null abgebildet wird so wäre die Homomorphie bzw. die Bijektivität an dieser Stelle verletzt.
p.s. das mit der "anderen reihenfolge" hab ich nur soviel gemeint, dass ein Automo. z.b. in R die 1 auf 4 abbilden könnte, 2 auf 3, 3 auf 1 usw.
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> Ja ein wenig anders war sie schon aber nur in sofern, dass
> da nicht "bijektiver Endo." stand sondern p:V->V ist ein
> Endo. mit p ° p= p. Das bedeutet aber soviel dass die Abb.
> selbstinvers ist
Hallo,
nein.
Wenn sie selbstinvers wäre, hätte man [mm] p\circ p=id_V.
[/mm]
Die hier vorliegende Abbildung jedoch ist nicht selbstinvers, sondern idempotent.
> und vor einiger Zeit haben wir gelernt
> dass rechts- und liksinverse Abbildungen bijektiv sind. Am
> sonsten habe ich nichts verändert.
Und diese kleine Änderung hat die Aufgabe total entstellt und die Aussage unwahr gemacht.
Möglicherweise mußt Du nun auch über Aufg. a) neu nachdenken.
>
> Die Def lautet wie folgt:
> Sei V ein K-Vekrorraum, U ein Untervekrorraum von V und W
> ein Komplement zu U.
Also [mm] V=U\oplus [/mm] W.
> Dann heißt die Abb. p: V -> U die
> einen Vektor v=u+w (v aus V, u aus U, w aus W) dem Vektor u
> Zuordnet, die Projektion von V auf U bzgl. des Komplements
> W.
Gut. damit kann man etwas anfangen.
V ist durch [mm] V=U\oplus [/mm] W so zerlegt, daß man jeden vektor v aus V in eindeutiger Weise schreiben kann als v=u+w, wobei [mm] u\in [/mm] U und [mm] w\in [/mm] W,
und [mm] p:V\to [/mm] U heißt die Projektion von V auf U (entlang W), wenn gilt
p(u+w)=u.
Du kannst Dir mal überlegen, daß Bild p=U und Kern p=W.
Nun zu Deiner Aufgabe.
In a) hast Du im Idealfall gezeigt, daß [mm] V=U_1\oplus U_2.
[/mm]
In Teil b) ist nun nachzuweisen, daß bei der Dir vorliegenden Abbildung jeder Vektor [mm] u_1+u_2 [/mm] mit [mm] u_i\in U_i [/mm] auf [mm] u_1 [/mm] abgebildet wird, daß also
[mm] p(u_1+u_2):u_1 [/mm] für alle [mm] u_i\in U_i.
[/mm]
>
> Von dem Kern wird nur soviel gesagt, dass er U2 heißt aber
> wenn ich mich nicht irre müsste da nur der Nullvektor
> liegen wegen der Homomorphie:
Nicht wegen der Homomorphie, sondern wegen der Injektivität.
Aber das ist ja Schnee von gestern, da wir inzwischen die aktuelle Aufgabenstellung haben.
Gruß v. Angela
> p(v)=p(0+v)=p(0)+p(v) würde p die 0 auf etwas anderes wie
> die Null abbilden bzw. wenn es etwas anderes gäben würde
> was von p auf Null abgebildet wird so wäre die Homomorphie
> bzw. die Bijektivität an dieser Stelle verletzt.
>
> p.s. das mit der "anderen reihenfolge" hab ich nur soviel
> gemeint, dass ein Automo. z.b. in R die 1 auf 4 abbilden
> könnte, 2 auf 3, 3 auf 1 usw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:05 Fr 06.05.2011 | | Autor: | Robibobi |
Hm.... stimmt, selbstinvers ist ein wenig zu weit gegriffen. Danke jetzt weiss ich wie es weiter geht :)
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