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Produktregel: Aufgaben
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:25 Sa 17.05.2008
Autor: sunny435

Aufgabe
Wende die Produktregel an.
4.h) x * sin (x)
j) f(x) = 4x * cos(x)
k) sin ² x

hallo!
zunächst mein Problem bei der h) ( die aufgaben sind jetzt aber relativ ähnlich, mir gehts hier um cosinus und sinus )

Habe erstmal abgeleitet

h) x * sin(x)
sin (x) + cos (x) * (x)

kann ich das jezt noch weiter zusammenfassen ? also cos (x) * (x), z.b. zu cos (2x) ?

So geht das in den restlichen aufgaben weiter.. ich bereite mich grad auf eine arbeit vor und komm damit nicht weiter...
z.b. bei der

J) f(x) = 4x * cos (x)

ableitung: 4*cos(x) - sin(x) * (4x)

Kann man da jetzt noch was zusammenfassen oder stimmt das?

bei der K) weiß ich nicht wie man sin ² (x) ableiten kann! Gibt es da auch eine Regel? hab das so zuvor noch nicht gesehen...

Hoffe, mir kann jemand helfen, vielen Dank schon mal im Voraus!

        
Bezug
Produktregel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:35 Sa 17.05.2008
Autor: M.Rex

Hallo

> Wende die Produktregel an.
> 4.h) x * sin (x)
>  j) f(x) = 4x * cos(x)
>  k) sin ² x
>  hallo!
> zunächst mein Problem bei der h) ( die aufgaben sind jetzt
> aber relativ ähnlich, mir gehts hier um cosinus und sinus
> )
>  
> Habe erstmal abgeleitet
>  
> h) x * sin(x)
>  sin (x) + cos (x) * (x)

Korrekt, aber die Notation ist ein wenig verwirrend.

Schreib:
[mm] h(x)=x*\sin(x) [/mm]
[mm] h'(x)=\sin(x)+x*\cos(x) [/mm]
Das kannst du nicht weiter zusammenfassen.

>  
> kann ich das jezt noch weiter zusammenfassen ? also cos (x)
> * (x), z.b. zu cos (2x) ?

Nein, das geht nicht.

>  
> So geht das in den restlichen aufgaben weiter.. ich bereite
> mich grad auf eine arbeit vor und komm damit nicht
> weiter...
> z.b. bei der
>
> J) f(x) = 4x * cos (x)
>  
> ableitung: 4*cos(x) - sin(x) * (4x)
>  

Korrekt. Aber ich würde die sinus/Cosinusterme an das Ende schreiben, um Verwechslungen zu vermeinden.
Also [mm] f'(x)=4*\cos(x)-4x*\sin(x) [/mm]

> Kann man da jetzt noch was zusammenfassen oder stimmt das?

Das ist so okay.

>  
> bei der K) weiß ich nicht wie man sin ² (x) ableiten kann!
> Gibt es da auch eine Regel? hab das so zuvor noch nicht
> gesehen...

Schreib mal [mm] \sin²(x)=(\sin(x))^{2}=\sin(x)*\sin(x) [/mm]
Oder nutze, falls schon behandelt, die Kettenregel.

Marius
Bezug
                
Bezug
Produktregel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:37 Sa 17.05.2008
Autor: sunny435

vielen dank, hast mir sehr geholfen!!
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Bezug
Produktregel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:50 Sa 17.05.2008
Autor: sunny435

Aufgabe
m) [mm] \wurzel{x} [/mm] * (sin x - cos x)

5. Bilde die erste und zweite Ableitung von f, ohne vorher die Klammer aufzulösen.
a) (x²+1) (3x-7)

soo.. hab doch noch eine frage!

Die Ableitung wäre ja dann
0,5 x ^(-0,5) * (sin x - cos x ) + (cos x +sin x) * [mm] \wurzel{x} [/mm]

Ich glaub, dass das nach deiner Antwort schon so fertig ist oder ?

2. Aufgabe:
5.a)  (x²+1) (3x-7)
--> was ist mit erste und zweite ableitung gemeint? soll ich das jetzt wirklich zweimal ableiten oder ist damit gemeint, dass man das erst nach u und dann nach v ableiten soll ? Ich hätte es sonst so gemacht:

2x (3x-7)* 3(x²+1)
2(3x-7) * (x² + 1)

ist das so richtig?

Tut mir Leid für die vielen Fragen :D aber vielleicht kann mir ja noch jemand helfen...
liebe grüße
sunny


Bezug
                        
Bezug
Produktregel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:57 Sa 17.05.2008
Autor: steppenhahn


> Die Ableitung wäre ja dann
> 0,5 x ^(-0,5) * (sin x - cos x ) + (cos x +sin x) *
> [mm]\wurzel{x}[/mm]
>  
> Ich glaub, dass das nach deiner Antwort schon so fertig ist
> oder ?

Genau, und deine Ableitung ist auch richtig [ok] :-).

> 2. Aufgabe:
>  5.a)  (x²+1) (3x-7)
>  --> was ist mit erste und zweite ableitung gemeint? soll

> ich das jetzt wirklich zweimal ableiten oder ist damit
> gemeint, dass man das erst nach u und dann nach v ableiten
> soll ? Ich hätte es sonst so gemacht:
>
> 2x (3x-7)* 3(x²+1)
>  2(3x-7) * (x² + 1)

Nein, das ist falsch auch wenn ich nicht wirklich weiß, was du hier gerechnet hast.
Bei dieser Aufgabe sollst du wirklich die gesamte Funktion zweimal ableiten. Denke aber daran, dass du auch hier beim Ableiten die Produktregel verwendest! (Das scheinst du nämlich oben vergessen zu haben).

Also - leite a) zweimal ab!
Bezug
                                
Bezug
Produktregel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:12 Sa 17.05.2008
Autor: sunny435

Aufgabe
5.b) f(x) = (8x² - 5x + [mm] 7)*(4x^7-3x^4+2x) [/mm]

achsoo.. :)
also muss man gar nicht die pruduktregel anwenden oder?

das wäre ja dann

f(x) = (x² + 1) (3x - 7)
f' (x) = (2x)*(3)
f''(x) = 2

und bei der b)
f'(x)= [mm] (16x-5)*(28x^6- 12x^3 [/mm] +2)
f''(x)= (16) * [mm] (168x^5 [/mm] - 36x²)

Meint ihr, ich muss jetzt noch die Produktregel anwenden? Hat mich vorhin verwirrt, weil die Aufgabe unter dem Thema in dem Buch vorkommt
Bezug
                                        
Bezug
Produktregel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:34 Sa 17.05.2008
Autor: Tyskie84

Hi,

> 5.b) f(x) = (8x² - 5x + [mm]7)*(4x^7-3x^4+2x)[/mm]
>  achsoo.. :)
> also muss man gar nicht die pruduktregel anwenden oder?
>
> das wäre ja dann
>
> f(x) = (x² + 1) (3x - 7)
>  f' (x) = (2x)*(3)
>  f''(x) = 2
>  

Leider [notok]

Also zu differenzieren ist das Produkt [mm] \\f(x)=\underbrace{(x^{2}+1)}_{u(x)}\cdot\underbrace{(3x-7)}_{v(x)}. [/mm] Nun lautet die Produktregel [mm] \red{f'(x)=u'(x)\cdot\\v(x)+u(x)\cdot\\v'(x)}. [/mm] Dann ist:
[mm] \\u(x)=(x^{2}+1) [/mm]
[mm] \\u'(x)=2x [/mm]
[mm] \\v(x)=3x-7 [/mm]
[mm] \\v'(x)=3 [/mm]

Eingesetzt in die Produktregel ergibt das:

[mm] f'(x)=2x\cdot(3x-7)+(x^{2}+1)\cdot\\3=.... [/mm]

> und bei der b)
>  f'(x)= [mm](16x-5)*(28x^6- 12x^3[/mm] +2)
>  f''(x)= (16) * [mm](168x^5[/mm] - 36x²)
>  

Leider auch [notok]

Schau mal, wenn du ein Produkt von Termen hast dann musst du immer die Produktregel verwenden. Also siehe oben :-)


> Meint ihr, ich muss jetzt noch die Produktregel anwenden?
> Hat mich vorhin verwirrt, weil die Aufgabe unter dem Thema
> in dem Buch vorkommt

Was meinst du mit noch? Du musst sie von Anfang an verwenden.


Noch ein kleines Beispiel:

[mm] f(x)=(x^{2}+4)\cdot(2x+3) [/mm]

Hier müssen wir die Produktregel verwenden.

Dann ist:

[mm] \\u(x)=x^2+4 [/mm]
[mm] \\u'(x)=2x [/mm]
[mm] \\v(x)=2x+3 [/mm]
[mm] \\v'(x)=2 [/mm]

[mm] \Rightarrow f'(x)=2x\cdot(2x+3)+(x^{2}+4)\cdot\\2=4x^{2}+6x+2x^{2}+8=\red{6x^{2}+6x+8} [/mm]

Nun gibt es noch eine andere Möglichkeit die Ableitung von f(x) zu bestimmen, nämlich in dem wir f(x) ausmultiplizieren. Dann ist:

[mm] f(x)=(x^{2}+4)\cdot(2x+3)=2x^{3}+3x^{2}+8x+12 [/mm]

Jetzt bilden wir die Ableitung gliedweise, dann ist

[mm] \Rightarrow f'(x)=\red{6x^{2}+6x+8} [/mm]

Und siehe da beide Wege führen zum selben Ergebnis.

[hut] Gruß
Bezug
                                                
Bezug
Produktregel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:18 So 18.05.2008
Autor: sunny435

Daaanke für die ausführliche Antwort... hab es jetzt verstanden!! :)
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