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Könnt ihr mir vielleicht bei ffolgender Aufgabe heöfen?
Es seien X1, d1) und (X2, d2) metrische Räume. Beweisen Sie, dass dann durch
d((x1, x2), (y1, y2)) = max ( d1 (x1, y1), d2 (x2, y2))
eine Metrik auf dem kartesischen Produkt X1 [mm] \times [/mm] X2, die sogenannte Produktmetrik, definiert ist.
Zeigen Sie weiter, dass
B ((x1, x2), [mm] \varepsilon) [/mm] = B (x1, [mm] \varepsilon) \times [/mm] B (x2, [mm] \varepsilon) [/mm]
K ((x1, x2), [mm] \varepsilon) [/mm] = K (x1, [mm] \varepsilon) \times [/mm] K (x2, [mm] \varepsilon) [/mm]
Für alle x1 Element Xi, i = 1,2 , und [mm] \varepsilon [/mm] > 0 gilt, wobei B(x, e) jeweils die offenen und K (x, [mm] \varepsilon) [/mm] die abgeschlossenen Kugeln um ein x mit dem Radius e in den jeweiligen Räumen bezeichnen.
Welchen metrischen Raum erhält man im Falle (X1, d1) = (X2, d2) = (R, |.|) ?
Würd mich echt über ein wenig Hilfe freuen. Hab nicht so ne große Ahnung, wie ich das beweisen kann.
Danke!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:58 Di 26.04.2005 | | Autor: | Micha |
Hallo!
> Könnt ihr mir vielleicht bei ffolgender Aufgabe heöfen?
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> Es seien X1, d1) und (X2, d2) metrische Räume. Beweisen
> Sie, dass dann durch
> d((x1, x2), (y1, y2)) = max ( d1 (x1, y1), d2 (x2, y2))
> eine Metrik auf dem kartesischen Produkt X1 [mm]\times[/mm] X2, die
> sogenannte Produktmetrik, definiert ist.
Hier zeigst du die drei Eigenschaften einer Metrik:
(D1) $d(x,y) = 0 [mm] \gdw [/mm] x=y$
(D2) $d(y,x) = d(x,y)$
(D3) $d(x,z) [mm] \le [/mm] d(x,y) + d(y,z)$
Ich zeige mal als Beispiel D1:
Wir wissen, [mm] $d_1$ [/mm] und [mm] $d_2$ [/mm] sind Metriken, also dürfen wir die Eigenschaften für sie verwenden:
$d((y1,y2), (x1,x2) ) = max (d1 (y1,x1) , d2(y2,x2) ) = max (d1(x1,y1), d2(x2,y2)) = d( (x1,x1) , (y1,y2))$
Und vielleicht noch D3:
[mm]d((x1,x2) , (z1,z2)) = max (d1 (x1,z1) , d2(x2,z2) ) \le max (d1 (x1,y1) , d2(x2,y2) ) + max (d1 (y1,z1) , d2(y2,z2) ) = d((x1,x2) , (y1,y2)) +d((y1,y2) , (z1,z2))[/mm]
Wobei man vielleicht noch sagen sollte, warum die Ungleichung bei den Maxima immernoch gilt...
Gruß Micha 
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