Produktmetrik- zusammenhängend < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] Seien(X_1, d_1) [/mm] und [mm] (X_2, d_2) [/mm] zwei zusammenhängende metrische Räume. Beweisen Sie, dass das Produkt X= [mm] X_1 [/mm] x [mm] X_2 [/mm] zusammenhängend ist.
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Hallo liebe Gemeinde,
ich habe irgendwie das gefühl das ich die Aufgabe damit beweisen muss indem ich annehme, das X nicht zusammenhängend ist.
dann gilt: es existieren offene Teilmengen U und V; U,V [mm] \subset [/mm] X, mit U [mm] \cap [/mm] V= [mm] \emptyset, X\subset [/mm] U [mm] \cup [/mm] V und U [mm] \cap [/mm] X [mm] \not= \emptyset [/mm] und V [mm] \cap [/mm] X [mm] \not= \emptyset
[/mm]
mit meiner Vorraussetzung das [mm] (X_1, d_1) [/mm] und [mm] (X_2, d_2) [/mm] zusammenhängend sind muss ich ja dann bestimmt zeigen das es einen Wiederspruch gibt und somit X zusammenhängend ist wo mein Problem liegt.
Kann mir jemand helfen den Wiederspruch zu finden bzw mir einen Tipp geben?
lg Seamus
Ich habe diese Frage in keinen anderen Forum gestellt!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:19 Mi 03.06.2009 | | Autor: | seamus321 |
ich hab grad gemerkt das ich das thema bzw die Frage in die Falsche Kategorie eingeordnet habe... kann ich das irgendwie ändern bzw die frage löschen und in die Richtige Kategorie stellen?!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:14 Do 04.06.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> ich hab grad gemerkt das ich das thema bzw die Frage in die
> Falsche Kategorie eingeordnet habe... kann ich das
> irgendwie ändern bzw die frage löschen und in die Richtige
> Kategorie stellen?!
Nein, verschieben koennen nur Moderatoren. Die Frage befindet sich allerdings schon im Topologie-Forum (wo sie hingehoert), also entweder hast du sie doch im richtigen Forum gestellt oder es hat sie schon jemand her verschoben :)
LG Felix
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Hallo Felix,
> Hallo!
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> > ich hab grad gemerkt das ich das thema bzw die Frage in die
> > Falsche Kategorie eingeordnet habe... kann ich das
> > irgendwie ändern bzw die frage löschen und in die Richtige
> > Kategorie stellen?!
>
> Nein, verschieben koennen nur Moderatoren. Die Frage
> befindet sich allerdings schon im Topologie-Forum (wo sie
> hingehoert), also entweder hast du sie doch im richtigen
> Forum gestellt oder es hat sie schon jemand her verschoben
Das war ich, aber klammheimlich ![[lol]](/images/smileys/lol.gif "[lol]")
> :)
>
> LG Felix
>
LG
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:19 Do 04.06.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Seamus
> [mm]Seien(X_1, d_1)[/mm] und [mm](X_2, d_2)[/mm] zwei zusammenhängende
> metrische Räume. Beweisen Sie, dass das Produkt X= [mm]X_1[/mm] x
> [mm]X_2[/mm] zusammenhängend ist.
>
>
> Hallo liebe Gemeinde,
>
> ich habe irgendwie das gefühl das ich die Aufgabe damit
> beweisen muss indem ich annehme, das X nicht
> zusammenhängend ist.
Du kannst es auch direkt zeigen :)
> dann gilt: es existieren offene Teilmengen U und V; U,V
> [mm]\subset[/mm] X, mit U [mm]\cap[/mm] V= [mm]\emptyset, X\subset[/mm] U [mm]\cup[/mm] V und U
> [mm]\cap[/mm] X [mm]\not= \emptyset[/mm] und V [mm]\cap[/mm] X [mm]\not= \emptyset[/mm]
Mach es doch direkt: du nimmst dir also zwei offene Teilmengen $U, V [mm] \subseteq [/mm] X$ mit $U [mm] \cap [/mm] V = [mm] \emptyset$ [/mm] und $U [mm] \cup [/mm] V = X$. Jetzt musst du zeigen, dass entweder $U = [mm] \emptyset$ [/mm] oder $V = [mm] \emptyset$ [/mm] gilt.
Sei [mm] $x_1 \in X_1$ [/mm] beliebig und betrachte [mm] $\pi_{x_1} [/mm] : [mm] X_2 \to X_1 \times X_2$, $x_2 \mapsto (x_1, x_2)$. [/mm] Diese Abbildung ist stetig (warum?). Wenn du jetzt [mm] $U_{x_1} [/mm] := [mm] \pi^{-1}_{x_1}(U)$ [/mm] und [mm] $V_{x_1} [/mm] := [mm] \pi^{-1}_{x_1}(V)$ [/mm] betrachtest, so sind [mm] $U_{x_1}, V_{x_1}$ [/mm] offen, [mm] $U_{x_1} \cap V_{x_1} [/mm] = [mm] \emptyset$ [/mm] und [mm] $U_{x_1} \cup V_{x_1} [/mm] = [mm] X_2$. [/mm] Da [mm] $X_2$ [/mm] zusammenhaengend ist gilt also [mm] $U_{x_1} [/mm] = [mm] \emptyset$ [/mm] oder [mm] $V_{x_1} [/mm] = [mm] \emptyset$.
[/mm]
Jetzt betrachte die Mengen $U' := [mm] \{ x_1 \in X_1 \mid \pi_{x_1}^{-1}(U) = \emptyset \}$ [/mm] und $V' = [mm] X_1 \setminus [/mm] U'$. Dann gilt [mm] $X_1 [/mm] = U' [mm] \cup [/mm] V'$ und $U' [mm] \cap [/mm] V' = [mm] \emptyset$.
[/mm]
Jetzt musst du dir ueberlegen, dass sowohl $U'$ als auch $V'$ offen sind: dann folgt, da [mm] $X_1$ [/mm] zusammenhaengend ist, dass $U' = [mm] \emptyset$ [/mm] oder $V' = [mm] \emptyset$ [/mm] ist; daraus folgt dann entweder $U = X$ oder $V = X$ (also $V = [mm] \emptyset$ [/mm] oder $U = [mm] \emptyset$), [/mm] was du zeigen wolltest.
LG Felix
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Danke für die gute und ausführliche Antwort, Ich hab den Beweis auch verstanden denke ich nur das Problem ist das wir noch keine Stetigkeit hatten! Von daher weis ich nicht ob es so wichtig ist zu wissen das die Abbildung [mm] \pi_{x_1} [/mm] : [mm] X_2 \to X_1 \times X_2 [/mm] stetig ist.
Wäre der Beweis auch richtig wenn die abbildung nicht stetig ist?
Lg Ede
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:48 Do 04.06.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Ede
> Danke für die gute und ausführliche Antwort, Ich hab den
> Beweis auch verstanden denke ich nur das Problem ist das
> wir noch keine Stetigkeit hatten! Von daher weis ich nicht
> ob es so wichtig ist zu wissen das die Abbildung [mm]\pi_{x_1}[/mm]
> : [mm]X_2 \to X_1 \times X_2[/mm] stetig ist.
> Wäre der Beweis auch richtig wenn die abbildung nicht
> stetig ist?
Du brauchst, dass die Urbilder von offenen Mengen unter dieser Funktion offen sind. Also eigentlich brauchst du nur fuer die konkreten Urbilder [mm] $U'_{x_1}$ [/mm] und [mm] $V'_{x_1}$ [/mm] zu zeigen, dass diese offen sind. Schreib die Urbilder mal explizit hin, und ueberleg dir warum sie offen sind.
LG Felix
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