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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:29 Do 12.05.2011 | | Autor: | Hanz |
| Aufgabe | Aus den Rohstoffen [mm] R_1, R_2 [/mm] und [mm] R_3 [/mm] produziert ein Betrieb die Zwischenprodukte [mm] Z_1,Z_2 [/mm] und [mm] Z_3 [/mm] und aus diesen die Endprodukte [mm] E_1 [/mm] und [mm] E_2. [/mm] Der Materialfluss in Mengeneinheiten (ME) ist im obigen Diagramm dargestellt [gebe ich hier nicht an]. Außerdem ist die RE-Matrix [mm] (M_3) [/mm] gegeben: [mm] \pmat{ 7 & 20 \\ 6 & 20 \\ 1 & 6}
[/mm]
a) Stelle die RZ-Matrix [mm] (M_1) [/mm] und die ZE-Matrix [mm] (M_2) [/mm] auf und berechne die Werte der ZE-Matrix.
b) Der Betrieb erhält den Auftrag über 200 ME von [mm] E_1 [/mm] und 300 ME von [mm] E_2. [/mm] Berechne die Menge an Rohstoffen und Zwischenprodukten, die zur Erfüllung dieses Auftrages erforderlich sind.
c) Die Kosten für jeweils 1 ME der Rohstoffe betragen 7 GE (Geldeinheiten) für [mm] R_1, [/mm] 4 GE für [mm] R_2 [/mm] und 5 GE für [mm] R_3. [/mm] Berechne die Rohstoffgesamtkosten.
d) Die Forschungsabteilung hat festgestellt, dass der Rohstoff [mm] R_1 [/mm] in Zwischenprodukt Z1 durch den preiswerteren Rohstoff [mm] R_3 [/mm] ersetzt werden kann. Allerdings braucht man eine größere Menge von [mm] R_3. [/mm] Dieser Zusammenhang wird durch den Parameter t mit 0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] 1 und t [mm] \in \IR [/mm] dargestellt. Im Verflechtungsdiagramm sind zu ersetzen: Von [mm] R_1 [/mm] zu [mm] Z_1 [/mm] statt 2 neu 2-t (ME) und von [mm] R_3 [/mm] zu [mm] Z_1 [/mm] statt 0 neu t² (ME). Bestimmen Sie t so, dass die Rohstoffkosten für den Auftrag aus b) minimal werden und berechne die Ersparnis. (Bemerkung: Die entstehenden Rohstoffmengen sind nicht ganzzahlig). |
Hallo,
also ich habe ein Problem nur bei der Teilaufgabe d):
Meine Lösungen:
Zu a):
RZ-Matrix: [mm] M_1 [/mm] = [mm] \pmat{ 2 & 3 & 0 \\ 1 & 4 & 0 \\ 0 & 1 & 1}
[/mm]
Es gilt: [mm] M_1 [/mm] * [mm] M_2 [/mm] = [mm] M_3 [/mm] => RE-Matrix: [mm] M_2 [/mm] = [mm] \pmat{2 & 4 \\ 1 & 4 \\ 0 & 2}
[/mm]
Zu b):
Sei [mm] \vec{b} [/mm] = [mm] \vektor{ 200 \\ 300}. [/mm] Dann:
[mm] M_3 [/mm] * [mm] \vec{b} [/mm] = [mm] \vektor{7400 \\ 7200 \\ 2000} [/mm] (für die RE-Matrix)
und
[mm] M_2 [/mm] * [mm] \vec{b} [/mm] = [mm] \vektor{1200 \\ 1400 \\ 600} [/mm] (für die ZE-Matrix)
Zu c):
Es ist mit dem Vektor aus b):
(7 4 5) * [mm] \vektor{7400 \\ 7200 \\ 2000} [/mm] = [mm] \vektor{51800 \\ 28800 \\ 10000}
[/mm]
Also betragen Gesamtkosten: 90600 GE.
Zu d):
Die Matrix [mm] M_1 [/mm] wird mit dem Parameter t verändert zu [mm] M_1^* [/mm] = [mm] \pmat{ 2-t & 3 & 0 \\ 1 & 4 & 0 \\ t² & 1 & 1}
[/mm]
Jetzt würde ich [mm] M_1^{*} [/mm] * [mm] M_2 [/mm] rechnen und dann daran den Auftragsvektor aus b) multiplizieren:
[mm] \pmat{ 7-2t & 20-4t \\ 6 & 20 \\ 2t²+1 & 4t²+6} [/mm] * [mm] \vektor{ 200 \\ 300} [/mm] = [mm] \vektor{7400-1600t \\ 7200 \\ 1600t²+2000}
[/mm]
Ab jetzt weiss ich leider nicht mehr, wie ich das t nun wählen muss...
Danke schonmal im Voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:46 Do 12.05.2011 | | Autor: | rabilein1 |
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> [mm]\pmat{ 7-2t & 20-4t \\ 6 & 20 \\ 2t²+1 & 4t²+6} *
\vektor{ 200 \\ 300} = \vektor{7400-1600t \\ 7200 \\ 1600t²+2000}[/mm]
>
> Ab jetzt weiss ich leider nicht mehr, wie ich das t nun
> wählen muss...
Du solltest jetzt mal das Gleichungssystem aufstellen, dass sich aus der Matrizen-Multiplikation ergibt. Soweit ich das sehe, ergibt das 3 quadratische Gleichungen, in denen als einzige Unbekannte t vorkommt. Eventuell kann man die irgendwie noch zusammenfassen - im besten Fall, kommt dann nur noch einige einzige Gleichung raus - das solltest du mal ausprobieren. Und dann die Ableitung bilden, um zu sehen, wo t optimal ist.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:56 Do 12.05.2011 | | Autor: | Hanz |
Welche Matrix-Multiplikation meinst du jetzt genau? Ich weiss nämlich grad nicht, welche ich dann nehmen müsste, um quadratische Gleichungen zu erzeugen...
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> Welche Matrix-Multiplikation meinst du jetzt genau? Ich
> weiss nämlich grad nicht, welche ich dann nehmen müsste,
> um quadratische Gleichungen zu erzeugen...
Diese Matrix hier (die hattest du doch selber erzeugt):
[mm]\pmat{ 7-2t & 20-4t \\ 6 & 20 \\ 2t²+1 & 4t²+6} *
\vektor{ 200 \\ 300} = \vektor{7400-1600t \\ 7200 \\ 1600t²+2000}[/mm]
Da ergeben sich doch drei Gleichungen draus. Die würde ich erst einmal aufstellen und dann sehen, ob man z.B. eine Gleichung davon nach [mm] t^{2} [/mm] auflösen kann und dieses [mm] t^{2} [/mm] dann in eine der anderen Gleichungen einsetzen kann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:35 Do 12.05.2011 | | Autor: | rabilein1 |
Ich sehe gerade: Die zweite Gleichunbg ist evident. Da kommt gar kein t drin vor.
6*200 + 20*300 = 7200
Dann hast du also nur noch 2 Gleichungen. Umso besser !!!
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Hallo!
Da dein letzter Vektor ein Ergebnis der vorherigen Berechnung ist, bekommst du nicht einfach 3 (oder 2) Gleichungen.
Hier mein Lösungsvorschlag:
Ich gehe davon aus, dass dein letzter Vektor $ [mm] \vektor{7400-1600t \\ 7200 \\ 1600t²+2000} [/mm] $ richtig ist. Multiplizierst du ihn mit dem Vektor der Rohstoffkosten aus c) [mm] $\pmat{ 7 & 4 & 5}$ [/mm] erhälst du den Gesamtkostenvektor. Bei diesem musst du die Zeilen einfach noch addieren und du erhälst eine Gleichung für die Gesamtkosten in Abhängigkeit von t: $$GK = [mm] 8000t^2-11200t+90600$$
[/mm]
Diese Gleichung einfach ableiten: GK' = 16000t-1200 , Null setzen und dann nach t auflösen: t = 0,7
Wenn du jetzt in deine Vektoren für t 0,7 einsetzt bekommst du eine Ersparnis in Höhe von: 90600GE -86680GE = 3920GE
Hoffe ich hab mich nicht verrechnet und konnte dir weiterhelfen 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:54 Do 12.05.2011 | | Autor: | Hanz |
Danke, das hat mir sehr geholfen. Jetzt ist es mir sonnenklar geworden, was zu tun ist... manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht
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