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Produktintegration: Frage zu sin²(x)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:54 Do 29.09.2005
Autor: Phoney

Hallo.

Vor einiger Zeit hatte ich hier schon mal eine Frage deswegen gelesen, wie man sin²x integriert.
Die Antwort war damals - zweimal integrieren.
Klingt auch logisch, nur irgendwie klappts bei mir nicht.
Da die Suchfunktion nicht geht und die damalige Frage mir wohl nicht so geholfen hat, leg einfach mal los:
achso und die Integralsgrenzen lassen wir einfach mal weg! Die verwirren mich nur.

[mm] \integral_{a}^{b} [/mm] sin(x)*sin(x) dx

u=sin(x)
u'=cos(x)
v'=sin(x)
v=-cos(x)

[mm] \integral_{a}^{b} sin^{2}(x) [/mm] dx = sin(x) * (-cos(x)) - [mm] \integral_{a}^{b} [/mm] cos(x) *(-cos(x))

Minuszeichen vorgezogen:

[mm] \integral_{a}^{b} sin^{2}(x) [/mm] dx = -sin(x) * cos(x) - [mm] \integral_{a}^{b} [/mm] -cos(x) *cos(x) dx

u= -cos(x)
u'=sin(x)
v' = cos(x)
v= sin(x)
(den zweiten Durchgang des Integrierens setze ich mal in eckige Klammern)

[mm] \integral_{a}^{b} sin^{2}(x) [/mm] dx = -sin(x) * cos(x) - [-cos(x)*sin(x) -  [mm] \integral_{a}^{b} [/mm] sin(x)*sin(x) dx]

Ich bin mir ziemlich sicher, dass das schon falsch ist. Ich weiß bloß nicht wo. Das muss wieder ein sau dämlicher Fehler sein. Ich meine, angenommen ich würde [mm] \integral_{a}^{b} [/mm] sin(x)*sin(x) dx auf die andere Seite schaffen, so würde da 0 = .... stehen : Wegen dem Minus, was vor der Eckigen Klammer noch steht!!!!

Aber eigentlich muss ich auf der linken Seite ja auf so etwas kommen:
[mm] 2\integral_{a}^{b} sin^{2}(x) [/mm] dx = ...

Ich hoffe, jemand kann mir da helfen.
Danke

MfG Johann

        
Bezug
Produktintegration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:03 Do 29.09.2005
Autor: Julius

Hallo Johann!

Bis hierhin war ja alles richtig:

[mm] $\int \sin^2(x)\, [/mm] dx = [mm] -\sin(x)\cos(x) [/mm] + [mm] \int \cos^2(x)\, [/mm] dx + C'$.

Nun gilt ja (trigonometrischer Pythagoras): [mm] $\cos^2(x) [/mm] = 1- [mm] \sin^2(x)$, [/mm]

also:

[mm] $\int \sin^2(x)\, [/mm] dx = [mm] -\sin(x)\cos(x) [/mm] + [mm] \int [/mm] (1- [mm] \sin^2(x))\, [/mm] dx = x - [mm] \sin(x)\cos(x) [/mm] - [mm] \int \sin^2(x)\, [/mm] dx + C'$.

Bringt man [mm] $-\int \sin^2(x)\, [/mm] dx$ aus die andere Seite und teilt durch $2$, so erhält man:

[mm] $\int \sin^2(x) \, [/mm] dx = [mm] \frac{1}{2} \cdot (x-\sin(x)\cos(x)) [/mm] + C$.


Probe:

[mm] $\frac{d}{dx} \left[ \frac{1}{2} \cdot (x-\sin(x)\cos(x)) \right] [/mm] = [mm] \frac{1}{2} [/mm] ( 1 [mm] -\cos^2(x) [/mm] + [mm] \sin^2(x)) [/mm] = [mm] \frac{1}{2} (\sin^2(x) [/mm] + [mm] \cos^2(x) [/mm] - [mm] \cos^2(x) [/mm] + [mm] \sin^2(x)) [/mm] = [mm] \sin^2(x)$ [/mm] [ok]

Liebe Grüße
Julius

Bezug
                
Bezug
Produktintegration: Vielen Dank
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:14 Do 29.09.2005
Autor: Phoney

Hallo Julius.
  

> Nun gilt ja (trigonometrischer Pythagoras): [mm]\cos^2(x) = 1- \sin^2(x)[/mm],

  
Danke für diese und die folgende schöne Erklärung, die hat eine Wissenslücke von vielen schon mal geschlossen.

> Probe:
>  
> [mm]\frac{d}{dx} \left[ \frac{1}{2} \cdot (x-\sin(x)\cos(x)) \right] = \frac{1}{2} ( 1 -\cos^2(x) + \sin^2(x)) = \frac{1}{2} (\sin^2(x) + \cos^2(x) - \cos^2(x) + \sin^2(x)) = \sin^2(x)[/mm]
> [ok]

Und gnaz besonders toll find ich es, dass du hier diese schöne Probe gemacht hast. Ganz lieben Dank dafür.

> Liebe Grüße
>  Julius

Grüße Johann.

Bezug
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