Produktintegration < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass für alle $m,n [mm] \in \IN$ [/mm] folgende Beziehungen gelten:
[mm] $\integral_{-\pi}^{\pi}{\sin (mx) * \sin (nx) dx} [/mm] = [mm] \integral_{-\pi}^{\pi}{\cos (mx) * \cos (nx) dx} [/mm] = [mm] \begin{cases} 0, & \mbox{für } n\not=m \\ \pi, & \mbox{für } n=m \end{cases}$ [/mm] |
Mein Problem ist, wie ich das genau ausrechne.
Es muss per Produktintegration (partieller Integration) gehen, aber wie?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:17 Fr 22.09.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Phoenix
Du musst hier keine Stammfunktion ausrechne, sondern wirklich nur mit den Grenzen argumentieren.
cosmxcosnx-sinmxsinnx=cos(m+n)x
das von [mm] -\pi [/mm] bis [mm] +\pi [/mm] ist Null, argumentiere mit der Periode! Aufzeichnen!deshalb sind die Integrale erstmal gleich.
Wieder mit den Perioden argumentiert sind sie auch0, (gleichviel pos wie negative Kurvenstücke, die gleich sind.)
Nur [mm] sin^{2}nx [/mm] ist immer positiv, deshalb ist das Integral ungleich 0.
am einfachsten durch [mm] sin^{2}nx [/mm] =0,5*(1-cos2nx) ersetzen, cos{2}nx=0,5*(1+cos2nx)
Gruss leduart
|
|
|
|
