Produktdarstellung des Sinus < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:10 Mi 23.10.2013 | | Autor: | Aegon |
| Aufgabe | Zeigen Sie die Produktdarstellung des Sinus:
[mm]\sin{\pi x} = \pi x \prod_{n=1}^{\infty}({1-\frac{x^2}{n^2}})[/mm] |
Als Hinweis habe ich: Bilden Sie die logarithmische Ableitung und verwenden Sie die Partialbruchzerlegung des Cotangens.
Die Partialbruchzerlegung wurde in der Vorlesung gemacht. Also kann ich
[mm]\pi \cot{(\pi x)}-\frac{1}{x} =\sum_{n=1}^\infty{\frac{2x}{x^2-n^2}}[/mm]
verwenden.
Ich habe beide Seiten von 0 bis y integriert. Auf der rechten Seite steht dann [mm] \int_{0}^{y}{\sum_{n=1}^\infty{\frac{2x}{x^2-n^2}}[/mm]. Hier möchte ich Integral und Summe vertauschen.
Also muss [mm]\sum_{n=1}^\infty{\frac{-2x}{-x^2+n^2}}[/mm] gleichmäßig konvergieren.
Wie kann ich das zeigen? Ich habe es mit dem Weierstraßschen Majorantenkriterium für [mm]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}[/mm] versucht, komme damit aber nicht weiter.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:11 Mi 23.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie die Produktdarstellung des Sinus:
> [mm]\sin{\pi x} = \pi x \prod_{n=1}^{\infty}({1-\frac{x^2}{n^2}})[/mm]
>
> Als Hinweis habe ich: Bilden Sie die logarithmische
> Ableitung und verwenden Sie die Partialbruchzerlegung des
> Cotangens.
>
> Die Partialbruchzerlegung wurde in der Vorlesung gemacht.
> Also kann ich
> [mm]\pi \cot{(\pi x)}-\frac{1}{x} =\sum_{n=1}^\infty{\frac{2x}{x^2-n^2}}[/mm]
> verwenden.
> Ich habe beide Seiten von 0 bis y integriert. Auf der
> rechten Seite steht dann
> [mm]\int_{0}^{y}{\sum_{n=1}^\infty{\frac{2x}{x^2-n^2}}[/mm]. Hier
> möchte ich Integral und Summe vertauschen.
> Also muss [mm]\sum_{n=1}^\infty{\frac{-2x}{-x^2+n^2}}[/mm]
> gleichmäßig konvergieren.
> Wie kann ich das zeigen? Ich habe es mit dem
> Weierstraßschen Majorantenkriterium für
> [mm]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}[/mm] versucht, komme damit aber
> nicht weiter.
Mit dem genannten Kriterium kannst Du die gleichmäßige Konvergenz auf $ [mm] I:=[-\bruch{1}{2}, \bruch{1}{2}]$ [/mm] zeigen.
Damit bekommst Du dann
(*) $ [mm] \sin{\pi x} [/mm] = [mm] \pi [/mm] x [mm] \prod_{n=1}^{\infty}({1-\frac{x^2}{n^2}}) [/mm] $
für alle x [mm] \in [/mm] I.
Setze dann [mm] p_n(x):=x \prod_{k=1}^{n}({1-\frac{x^2}{k^2}}) [/mm]
und zeige:
[mm] p_{n+1}(x)=p_n(x)* \bruch{x+n-1}{x-n}.
[/mm]
Damit siehst Du dann, dass (*) auch auf [mm] [-\bruch{1}{2}, \bruch{3}{2}], [-\bruch{1}{2}, \bruch{5}{2}], [/mm] .... gilt.
Damit hat man (*) auf [0, [mm] \infty).
[/mm]
beide Seiten in (*) sind ungerade, also hat man (*) auf ganz [mm] \IR.
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:24 Mi 23.10.2013 | | Autor: | Aegon |
> Mit dem genannten Kriterium kannst Du die gleichmäßige
> Konvergenz auf [mm]I:=[-\bruch{1}{2}, \bruch{1}{2}][/mm] zeigen.
Für [mm] x \in [-\frac{1}{2},\frac{1}{2}][/mm] komme ich auf
[mm] \left|\frac{1}{n^2-x^2}\right|=\left|\frac{1}{2n(x-n)} - \frac{1}{2n(x+n)}\right| \leq \left|\frac{1}{2nx-2n^2}\right| +\left|\frac{1}{2nx+2n^2}\right| \leq \left|\frac{1}{2nx+2n^2}\right| \leq \frac{1}{n^2}[/mm]
War das so gemeint?
> Damit bekommst Du dann
>
> (*) [mm]\sin{\pi x} = \pi x \prod_{n=1}^{\infty}({1-\frac{x^2}{n^2}})[/mm]
>
> für alle x [mm]\in[/mm] I.
>
> Setze dann [mm]p_n(x):=x \prod_{k=1}^{n}({1-\frac{x^2}{k^2}})[/mm]
>
> und zeige:
>
> [mm]p_{n+1}(x)=p_n(x)* \bruch{x+n-1}{x-n}.[/mm]
>
> Damit siehst Du dann, dass (*) auch auf [mm][-\bruch{1}{2}, \bruch{3}{2}], [-\bruch{1}{2}, \bruch{5}{2}],[/mm]
> .... gilt.
Wie sehe ich das ein?
Mit der Rekursion habe ich mir das überlegt:
[mm]\sin{\pi x} = \pi \lim_{n\rightarrow \infty}{\prod_{k=1}^{n+1}{(1-\frac{x^2}{k^2})}=\pi \lim_{n\rightarrow\infty}p_{n+1}= \pi \lim_{n\rightarrow\infty}{p_n*\frac{x+n-1}{x-n}[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Fr 25.10.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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