Produktbildg v. Kardinalzahlen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hi,
ich versuche zu beweisen, dass für Kardinalzahlen [mm] $\alpha, \beta, \gamma$ [/mm] gilt:
[mm] $\alpha [/mm] + [mm] (\beta [/mm] + [mm] \gamma) [/mm] = [mm] (\alpha+\beta)+\gamma;$ [/mm] (also die Assoziativität)
Mein Vorschlag wäre, die Kardinalzahlen als Mengen aufzufassen und mittels
|A| + |B| = | (A [mm] $\times$ [/mm] {1}) [mm] $\cup$ [/mm] (B [mm] $\times$ [/mm] {2} ) |
die assoziativität beweise!
Kann man das so machen? Wie sonst?
mfg,
Martin
PS: Selbstverständlich: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:52 So 06.02.2005 | | Autor: | Max |
Wäre das nicht falsch, wenn $2 [mm] \in [/mm] A$ und $1 [mm] \in [/mm] B$?
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Glaube ich nicht,
denn dann Wäre A (2,1), während B (1,2) wäre, was nicht das gleiche
|A|=1M |B|=1; A [mm] \cup [/mm] B = { (2,1), (1,2) }; --> | A [mm] \cup [/mm] B | =2
mfg,
Martin
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:35 So 06.02.2005 | | Autor: | Max |
Stimmt, mein Fehler, hatte übersehen dass du geordnete Paare benutzt hattest, ich habe keine Bedenken mehr 
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Hi,
wie sieht es eigentlich mit der wohldefiniertheit bei produktbildung von Kardinalzahlen aus?
Im endlichen Fall eigentlich noch möglich, da |A|,|B| [mm] \in \IN [/mm] . Aber was falls |A|, |B| transfinit?
mfg,
Martin
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Erst mal zur Assoziativität der kardinalen Addition:
Es seien [mm] \kappa [/mm] := |A| [mm] \lambda [/mm] := |B| und [mm] \mu [/mm] := |C|
Zusatzlich gelte: A,B und C seien paarweise disjunkt. Mache die Mengen ansonsten disjunkt.
Dann gilt wegen Disjunktheit
[mm] (\kappa [/mm] + [mm] \lambda) [/mm] + [mm] \mu [/mm] =
(|A| + |B|) + |C| =
|A [mm] \cup [/mm] B| + |C| =
|(A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \cup [/mm] C| =
|A [mm] \cup [/mm] (B [mm] \cup [/mm] C)| =
|A| + |B [mm] \cup [/mm] C| =
|A| + (|B| + |C|)=
[mm] \kappa [/mm] + [mm] (\lambda [/mm] + [mm] \mu)
[/mm]
Die Assoziativität der kardinalen Addition kann also direkt auf die der Vereinigung von Mengen zurückgeführt werden. Die Disjunktheit der Mengen ist hierbei nicht wesentlich, sondern verkürzt lediglich die Schreibarbeit.
Nun zur zweiten Frage: Ist das Produkt von Kardinalzahlen überhaupt wohdefiniert?
Antwort: Ja.
Das Produkt von Kardinalzahlen ist definiert als: [mm] \kappa [/mm] * [mm] \lambda [/mm] := |A [mm] \times [/mm] B|
Das Paarmengenaxiom garantiert die Existenz von A [mm] \times [/mm] B. Daher kommt dieser Menge auch eine Mächtigkeit zu.
Genauer: A [mm] \times [/mm] B := [mm] \{ \{A\},\{A,B\}\}
[/mm]
Das ist eine Parmenge, die eine Einer-, und eine Paarmenge enthält. Alle diese Mengen existieren nach dem Paarmengenaxiom.
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