Produkt von Integralen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:33 Fr 13.01.2017 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | Hallo, ich frage mich gerade ob folgendes gilt
[mm] \integral_{c}^{d}\integral_{a}^{b}{f(x)f(y) dxdy}= \integral_{a}^{b}{f(x) dx}\integral_{c}^{d}{f(y) dy} [/mm] |
Stimmt diese Aussage oder gibt es ein Gegenbeispiel?
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hiho,
sofern du, wie in der Maßtheorie üblich, den Fall $0 * \infty = 0$ setzt, oder voraussetzt, dass die Integrale existieren, stimmt die Aussage.
Schließlich ist im inneren Integral $\integral_{a}^{b}{f(x)f(y) dx$ die Funktion $f(y)$ eine Konstante (da nicht von x abhängig) und damit können wir sie vor das Integral ziehen und erhalten $f(y) \integral_{a}^{b}{f(x) dx$. Das verbleibende Integral $\integral_{a}^{b}{f(x) dx$ ist nun aber eine relle Zahl, nennen wir sie c und nicht von y abhängig, damit gilt:
[mm]\integral_{c}^{d}\integral_{a}^{b}{f(x)f(y) dxdy} = \integral_{c}^{d} f(y) \integral_{a}^{b}{f(x) dx dy = \integral_{c}^{d} f(y) c dy = c \integral_{c}^{d} f(y) dy = \integral_{a}^{b}{f(x) dx \integral_{c}^{d} f(y) dy[/mm]
Gruß,
Gono
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