Produkt von Elementarmatrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:25 Fr 10.11.2006 | | Autor: | Rektash |
| Aufgabe | | Schreiben sie die Matrix A als Produkt von Elementarmatrizen. |
Vielen Dank erstmal fürs Reinschauen. Ich hoffe ihr könnt mit meiner Fragestellung was Anfangen, ich versuch mich so präzis wie möglich auszudrücken.
Ich habe folgende Matrix
A = [mm] \begin{Bmatrix}
2 & 5 \\
1 & 3
\end{Bmatrix}
[/mm]
und soll diese als Produkt von Elementarmatrizen darstellen. Ich habe also im folgendem die Matrix A zur Einheitsmatrix
En = [mm] \begin{Bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{Bmatrix}
[/mm]
umgeformt und die benötigten Umformschritte als Elementarmatrizen notiert:
E1 = [mm] \begin{Bmatrix}
1 & -2 \\
0 & 1
\end{Bmatrix}
[/mm]
E2 = [mm] \begin{Bmatrix}
1 & 0 \\
3 & 1
\end{Bmatrix}
[/mm]
E3 = [mm] \begin{Bmatrix}
-1 & 0 \\
0 & 1
\end{Bmatrix}
[/mm]
E4 = [mm] \begin{Bmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{Bmatrix}
[/mm]
Wie muss ich diese Elementarmatrizen nun miteinander multiplizieren (bitte möglichst genau) um auf das Ergebniss A Matrix zu kommen ? Ich habe auf meiner
Suche nach Antworten im Internet öfter mal etwas von "dies und jenes muss von links gerechnet werden" gehört und bin mir relativ sicher das es hierbei von Relevanz ist, denn wenn ich stumpfe von E1-E4 durchmultipliziere (E1 * E2 = X ; X * E3 = Y ; Y * E4 = nicht A) kommt einfach nicht die A Matrix raus. Ich danke im Vorraus für alle Antworten.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
MfG Rektash
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:49 Sa 11.11.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
du hast leider nicht dazu geschrieben, was deine Elementarmatrizen machen sollen und wie und in welcher Reihenfolge du sie angewendet hast.
Ich gehe mal von folgender Vorgehensweise aus:
[mm] $E_4*(E_3*(E_2*(E_1*A)))=E_n$
[/mm]
dann ist natürlich : [mm] $A=(E_4*E_3*E_2*E_1)^{-1}*E_n=E_1*E_2*E_3*E_4$
[/mm]
viele Grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:51 Sa 11.11.2006 | | Autor: | Informacao |
Hi DaMenge.
ich kann garnichts in deinem beitrag erkennen...liegt das an mir bzw. an meinem pc??
viele grüße
informacao
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:28 Sa 11.11.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
also bei mir werden die Grafiken (, die für die Formeln erstellt wurden) korrekt angezeigt - vielleicht versuchst du einfach nochmal die Seite neuzuladen (F5) oder clickst mal direkt auf die formeln, die du nicht siehst, dann sollte ein neues Fenster/Tab aufgehen wo man die Formel sieht.
Oder siehst du auch gar keinen Text dabei?
viele Grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:32 Sa 11.11.2006 | | Autor: | Informacao |
hi,
das ist ganz komisch. Ich seh manche Formeln. und manche nicht, wobei ich den Text aber sehen kann.
Wenn ich die Seite neu lade, dann klappt es immer noch nicht, aber wenn ich auf die Formeln klicke, kann ich sie sehen..also ich muss dannn immer an eine "leere" Stelle im Text klicken, dann öffnen sich die Formeln in einem neuen Fenster..
sehr bizarr 
Informacao
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:07 Sa 11.11.2006 | | Autor: | Rektash |
Danke fürs Anschauen erstmal :) .
Ja, ich bin genau so vorgegangen wie du es oben angenommen hast und die Elementarmatrizen dürften auch soweit stimmen, denn A mit ihnen durchmultipliziert ergibt definitiv En ( hab ich ausprobiert ).
Wenn ich jetzt aber wie von dir gesagt E1*E2*E3*E4 rechne kommt einfach nicht A raus, keine Ahnung woran es liegt:
E1*E2 = [mm] \begin{pmatrix}
1 & -2 \\
0 & 1
\end{pmatrix} [/mm] * [mm] \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
3 & 1
\end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}
-5 & -2 \\
3 & 1
\end{pmatrix}
[/mm]
Ergebniss * E3 = [mm] \begin{pmatrix}
-5 & -2 \\
3 & 1
\end{pmatrix} [/mm] * [mm] \begin{pmatrix}
-1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}
5 & -2 \\
-3 & 1
\end{pmatrix}
[/mm]
Ergebniss * E4 = [mm] \begin{pmatrix}
5 & -2 \\
-3 & 1
\end{pmatrix} [/mm] * [mm] \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}
-2 & 5 \\
1 & -3
\end{pmatrix}
[/mm]
Egal wie blöd der Fehler auch sein mag bitte sagt mir wo er ist :) .
Danke im Vorraus für euer Mühen.
MfG Rektash
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:14 Sa 11.11.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
ohh mann - da hab ich nicht ganz aufgepasst, die richtige Formel ist natürlich:
[mm] $A=(E_4*E_3*E_2*E_1)^{-1}*E_n=E_1^{-1}*E_2^{-1}*E_3^{-1}*E_4^{-1}$
[/mm]
sorry - war mein Fehler !
viele grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:00 So 12.11.2006 | | Autor: | Rektash |
Vielen dank für die Antwort erstmal.
Heißt das, dass bei [mm]E1^-1[/mm] erst die Inverse gebildet werden muss und dann am ende alle Inversen der Elementarmatrizen miteinander ( E1...->E4) multipliziert werden müssen ?.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:01 So 12.11.2006 | | Autor: | Rektash |
Vielen dank für die Antwort erstmal.
Heißt das, dass bei [mm]E[sub]1[/sub]^{-1}[/mm] erst die Inverse von E1 gebildet werden muss und dann am ende alle Inversen der Elementarmatrizen miteinander ( von E1...->E4) multipliziert werden müssen ?. Oder lässt sich das irgendwie direkt rechnen ? Oder versteh ich einfach nur falsch was du mit [mm]E[sub]1[/sub]^{-1}[/mm] meinst ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:28 So 12.11.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
du hast das schon richtig verstanden, dass man die Inversen multiplizieren muss, aber die Inversen von Elementarmatrizen sind sehr leicht zu bestimmen (und vor allem selbst auch wieder Elementarmatrizen).
Wenn man z.B. zwei Zeilen vertauscht, muss sogar gar nichts rechnen, denn diese Elementarmatrix ist invers zu sich selber (zwei mal angewendet ergibt wieder den ausgangszustand)
viele Grüße
DaMenge
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