Produkt konvergenter Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:26 So 24.04.2016 | | Autor: | X3nion |
Hallo,
und gleich einen Beweis hinterher, den ich nicht ganz nachvollziehen kann :-D Ich habe nur bis zu dem Teil abgetippt, den ich nicht verstehe
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Satz: Seien [mm] (a_{n})_{n\in\IN} [/mm] und [mm] (b_{n})_{n\in\IN} [/mm] zwei konvergente Folgen reeller Zahlen. Dann konvergiert auch die Produktfolge [mm] (a_{n}b_{n})_{n\in\IN} [/mm] und es gilt
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (a_{n}b_{n}) [/mm] = [mm] (\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}) \cdot (\limes_{n\rightarrow\infty} b_{n})
[/mm]
Beweis: Man bezeichne a := [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} [/mm] und b := [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{b}
[/mm]
Jede konvergente Folge ist beschränkt, somit ist auch [mm] (a_{n}) [/mm] beschränkt. Somit gibt es eine reelle Konstante K > 0, sodass [mm] |a_{n}| \le [/mm] K für alle n. Man kann außerdem (nach evtl. Vergrößerung von K) annehmen, dass |b| [mm] \le [/mm] K. ...
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Mir ist die Aussage "nach evtl. Vergrößerung von K" nicht ganz klar.
Ist zum Beispiel [mm] |a_{n}| \le [/mm] 5, aber |b| [mm] \le [/mm] 6 ... wähle ich dann für K = 6?
Also allgemein gesehen: muss das K immer so gewählt werden, dass es quasi das "Maximum" aus beiden K's ist?
Gruß X3nion
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:32 So 24.04.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja genau so ist es.
Gruß leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:38 So 24.04.2016 | | Autor: | X3nion |
Hi leduart,
alles klaro, danke für deine Antwort! Jetzt verstehe ich den Beweis ohne Zweifel :)
Gruß X3nion
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