Produkt (1+2/k)<=2^n < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Bestimmen Sie alle alle n [mm] \in \IN [/mm] für die gilt: [mm] \produkt_{k=1}^{n}(1+\frac{2}{k}) \le 2^n [/mm] |
Die Ungleichung gilt erst ab n=4:
Soweit bin ich gekommen:
IV: ...
IS:
[mm] \produkt_{k=1}^{n+1}(1+\frac{2}{k}) \le 2^{n+1}
[/mm]
[mm] \gdw \produkt_{k=1}^{n}(1+\frac{2}{k}) [/mm] * [mm] (1+\frac{2}{n+1}) \le 2^{n+1}
[/mm]
IV [mm] \le 2^n [/mm] * [mm] (1+\frac{2}{n+1}) \le 2^{n+1}
[/mm]
[mm] \gdw 2^n +\frac{2^{n+1}}{n+1} \le 2^{n+1}
[/mm]
In der Musterlösung wird es genauso gemacht nur das [mm] (1+\frac{2}{n+1}) [/mm] durch [mm] (1+\frac{2}{k}) [/mm] ersetzt wird. Was micht etwas verwundert:
![[]](/images/popup.gif) Bild
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Hallo DrNetwork,
> Bestimmen Sie alle alle n [mm]\in \IN[/mm] für die gilt:
> [mm]\produkt_{k=1}^{n}(1+\frac{2}{k}) \le 2^n[/mm]
> Die Ungleichung
> gilt erst ab n=4:
>
> Soweit bin ich gekommen:
> IV: ...
> IS:
> [mm]\produkt_{k=1}^{n+1}(1+\frac{2}{k}) \le 2^{n+1}[/mm]
> [mm]\gdw \produkt_{k=1}^{n}(1+\frac{2}{k})[/mm]
> * [mm](1+\frac{2}{n+1}) \le 2^{n+1}[/mm]
> IV [mm]\le 2^n[/mm] * [mm](1+\frac{2}{n+1}) \le 2^{n+1}[/mm]
Das ist Kuddelmuddel!
Entweder machst du ne stringente Äquivalenzkette oder nimmst dir (und das empfehle ich) die linke Seite der Induktionsbeh. her und formst mit Hilfe der IV solange um, bis du die rechte Seite dastehen hast:
Also IV: Sei [mm] $n\in\IN, [/mm] n>4$ mit [mm] $\prod\limits_{k=1}^{n}\left(1+\frac{2}{k}\right)\le 2^n$
[/mm]
Dann ist im Induktionsschritt zu zeigen: [mm] $\prod\limits_{k=1}^{n+1}\left(1+\frac{2}{k}\right)\le 2^{n+1}$
[/mm]
dazu: [mm] $\prod\limits_{k=1}^{n+1}\left(1+\frac{2}{k}\right)=\prod\limits_{k=1}^{n}\left(1+\frac{2}{k}\right)\cdot{}\left(1+\frac{2}{n+1}\right)\underbrace{\le}_{\text{nach IV}}2^n\cdot{}\left(1+\frac{2}{n+1}\right)=2^n+\frac{2^{n+1}}{n+1}$
[/mm]
Soweit stand das in etwa (nur formal unsauber) in deinem Beweis.
Nun solltest du noch begründen, warum [mm] $2^n+\frac{2^{n+1}}{n+1}\le 2^{n+1}$ [/mm] ist.
Dann bist du fertig!
> [mm]\gdw 2^n +\frac{2^{n+1}}{n+1} \le 2^{n+1}[/mm]
>
> In der Musterlösung wird es genauso gemacht nur das
> [mm](1+\frac{2}{n+1})[/mm] durch [mm](1+\frac{2}{k}).[/mm]
Das ist kein Satz?!
Der Faktor für k=n+1 lautet (wie oben in deinem Beweis richtig steht [mm] $\left(1+\frac{2}{n+1}\right)$
[/mm]
> Was micht etwas
> verwundert:
> ![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") [Bild Nr. 1 (fehlt/gelöscht)]
Gruß
schachuzipus
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Hallo nochmal,
ah, jetzt sehe ich ein Bild, in dem genau das steht, was ich geschrieben habe ... 
Der Beweis im Bild ist doch detailliert begründet ...
So ganz verstehe ich diene Frage nicht.
Vllt. der Schritt von [mm] $\prod\limits_{k=1}^{n+1}\left(1+\frac{2}{k}\right)$ [/mm] zu [mm] $\prod\limits_{k=1}^{n}\left(1+\frac{2}{k}\right)\cdot{}\left(1+\frac{2}{n+1}\right)$ [/mm] ?
Nun, da ist einfach der letzte Faktor, also der für $k=n+1$ aus dem großen Produkt separat hinten dran geschrieben.
Dieser Faktor ist [mm] $\left(1+\frac{2}{n+1}\right)$
[/mm]
Das Produkt ohne diesen Faktor hat dann natürlich nicht mehr n+1 Faktoren, sondern n, läuft also von $k=1$ bis $k=n$
Darauf kann man dann die IV anwenden ... usw.
War das gemeint?
Gruß
schachuzipus
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> War das gemeint?
>
Nein, das ist mir klar. Ich mein das [mm] 2^n +\frac{2^{n+1}}{k} [/mm] wieso wird der letzte Faktor durch das mit dem k ersetzt?
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Hallo nochmal,
ja, habe ich zu spät registriert ![[lupe]](/images/smileys/lupe.gif "[lupe]")
![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
siehe Antwort unten ...
Gruß
schachuzipus
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Hi schachuzipus,
Jo das gefällt mir so wesentlich besser. Okey wahrscheinlich hast du das Bild noch nicht gesehen, weisst du wieso das da anders gemacht wird?
Lässt sich das [mm] 2^n +\frac{2^{n+1}}{n+1} \le 2^{n+1} [/mm] denn relativ einfach zeigen?
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Hallo nochmal,
ich blinde Nuss ...
jetzt sehe ich, was du mit "ersetzen" usw. meinst.
Das ist ein Fehler in der Lösung, richtig muss nach IV folgen (wie ich schon schrieb)
[mm] $\le 2^n\cdot{}\left(1+\frac{2}{\red{n+1}}\right)$
[/mm]
Nun multiplizieren wir das mal nicht aus, sondern meditieren über die Klammer.
Für [mm] $n\ge [/mm] 4$ ist sicher den Nenner $n+1>2$, also ist [mm] $\frac{2}{n+1}<1$, [/mm] damit ist die Klammer [mm] $\left(1+\frac{2}{n+1}\right)<1+1=2$
[/mm]
Also insgesamt [mm] $...\underbrace{\le}_{\text{nach IV}}2^n\cdot{}\left(1+\frac{2}{n+1}\right)<2^n\cdot{}(1+1)=2^n\cdot{}2=2^{n+1}$
[/mm]
So, wie es sein sollte ...
Gruß
schachuzipus
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> Für [mm]n\ge 4[/mm] ist sicher den Nenner [mm]n+1>2[/mm], also ist
> [mm]\frac{2}{n+1}<1[/mm], damit ist die Klammer
> [mm]\left(1+\frac{2}{n+1}\right)<1+1=2[/mm]
Müsste man nicht eigentlich sagen: [mm] \left(1+\frac{2}{n+1}\right)<1+\frac{2}{5}<2
[/mm]
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Hallo,
> > Für [mm]n\ge 4[/mm] ist sicher den Nenner [mm]n+1>2[/mm], also ist
> > [mm]\frac{2}{n+1}<1[/mm], damit ist die Klammer
> > [mm]\left(1+\frac{2}{n+1}\right)<1+1=2[/mm]
>
> Müsste man nicht eigentlich sagen:
> [mm]\left(1+\frac{2}{n+1}\right)<1+\frac{2}{5}<2[/mm]
Jo, geht auch, [mm] $\frac{2}{5}<1$, [/mm] das tut der (Un-)Gleichungskette keinen Abbruch.
Egal wie , alles ist erlaubt, Hauptsache, du kommst schlussendlich auf <2
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:09 Mi 06.01.2010 | | Autor: | DrNetwork |
Vielen Dank schachuzipus!
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![[]](http://img64.imageshack.us/img64/7814/screenshot20100105at230.png){kind=small}
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