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| Aufgabe | Berechnen Sie die Eigenvektoren von
[mm] A=\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & -2 \\ 2 & 1 & -1 } [/mm] |
Hallo ihr,
hab Probleme mit dem Berechnen von Eigenvektoren der o.a. Matrix.
Nach mehrmaligem Durchrechnen konnte ich folgende Eigenwerte ermitteln:
1) [mm] \lambda=-1
[/mm]
2) [mm] \lambda=1+i
[/mm]
3) [mm] \lambda=1-i
[/mm]
Eigenvektor für [mm] \lambda=-1 [/mm] ist kein Problem. Probleme gibt's aber bei den folgenden beiden EV:
Die Matrix für [mm] \lambda=1+i [/mm] lautet doch
[mm] \pmat{ -i & 1 & 0 \\ 1 & -i & -2 \\ 2 & 1 & -2-i }
[/mm]
Wenn ich nun versuche, den Eigenvektor mit dem Gauss'schen Eliminationsverfahren zu berechnen, erhalte ich folgendes:
[mm] x_{1}=t
[/mm]
[mm] x_{2}=it
[/mm]
[mm] x_{3}=t
[/mm]
Matlab hingegen berechnet folgenden Eigenvektor:
[mm] x_{1}=0.0000+0.5774i
[/mm]
[mm] x_{2}=-0.5774
[/mm]
[mm] x_{3}=0.0000+0.5774i
[/mm]
Für [mm] \lambda=1-i [/mm] ergibt das dann den konjugiert komplexen EV. Warum kommt aber bei Matlab was völlig andres raus als bei mir??? Hab ich einen Fehler womöglich eingebaut?
Hier meine Vorgehensweise für [mm] \lambda=1+i
[/mm]
[mm] \pmat{ -i & 1 & 0 \\ 1 & -i & -2 \\ 2 & 1 & -2-i}
[/mm]
[mm] \pmat{ 0 & 2 & -2i \\ 1 & -i & -2 \\ 0 & 1+2i & 2-i}
[/mm]
[mm] \pmat{ 0 & 1 & -i \\ 1 & -i & -2 \\ 0 & 1+2i & 2-i}
[/mm]
[mm] \pmat{ 0 & -1 & i \\ 1 & -i & -2 \\ 0 & 0 & 0}
[/mm]
Freue mich auf eine Antwort.
Gruß, Brauni
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> Berechnen Sie die Eigenvektoren von
>
> [mm]A=\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & -2 \\ 2 & 1 & -1 }[/mm]
> Hallo
> ihr,
>
> hab Probleme mit dem Berechnen von Eigenvektoren der o.a.
> Matrix.
> Nach mehrmaligem Durchrechnen konnte ich folgende
> Eigenwerte ermitteln:
>
> 1) [mm]\lambda=-1[/mm]
> 2) [mm]\lambda=1+i[/mm]
> 3) [mm]\lambda=1-i[/mm]
>
> Eigenvektor für [mm]\lambda=-1[/mm] ist kein Problem. Probleme
> gibt's aber bei den folgenden beiden EV:
>
> Die Matrix für [mm]\lambda=1+i[/mm] lautet doch
>
> [mm]\pmat{ -i & 1 & 0 \\ 1 & -i & -2 \\ 2 & 1 & -2-i }[/mm]
>
> Wenn ich nun versuche, den Eigenvektor mit dem Gauss'schen
> Eliminationsverfahren zu berechnen, erhalte ich folgendes:
>
> [mm]x_{1}=t[/mm]
> [mm]x_{2}=it[/mm]
> [mm]x_{3}=t[/mm]
>
> Matlab hingegen berechnet folgenden Eigenvektor:
>
> [mm]x_{1}=0.0000+0.5774i[/mm]
> [mm]x_{2}=-0.5774[/mm]
> [mm]x_{3}=0.0000+0.5774i[/mm]
>
Hallo,
da ist kein Widerspruch.
Man berechnet immer "einen Eigenvektor" und nicht "den Eigenvektor".
Die Vielfachen eines jeden Eigenvektors sind auch Eigenvektoren der Abbildung, was Du Dir leicht überlegen kannst.
Die Situation "Vielfaches" haben wir hier vorliegen.
Das, was Du gerechnet hast,
> [mm]x_{1}=t[/mm]
> [mm]x_{2}=it[/mm]
> [mm]x_{3}=t[/mm],
sagt, daß alle Eigenvektoren zum Ew 1+i die Gestalt [mm] \vektor{t \\ it \\ t}=t\vektor{1 \\ i \\ 1} [/mm] haben, d.h. der zugehörige Eigenraum ist [mm] <\vektor{1 \\ i \\ 1}>.
[/mm]
Was sagt Dir Dein Mathlab?
> [mm]x_{1}=0.0000+0.5774i[/mm]
> [mm]x_{2}=-0.5774[/mm]
> [mm]x_{3}=0.0000+0.5774i[/mm],
d.h. es ist [mm] \vektor{0.5774i \\ -0.5774 \\ 0.5774i} [/mm] ein Eigenvektor.
Nun ist gerade [mm] \vektor{0.5774i \\ -0.5774 \\ 0.5774i}=0.5774i\vektor{1 \\ i \\ 1}, [/mm] womit der Widerspruch sich in Luft auflöst.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:12 Di 27.02.2007 | | Autor: | Braunstein |
Herzlichen Dank!!! :)
Deine Antwort hat mir soeben eine neue Tür geöffnet!!!!
Gruß, brauni
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