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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:34 Sa 24.11.2007 | | Autor: | buef |
| Aufgabe | Untersuchen Sie auf Konvergenz
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^k}{2k+1}
[/mm]
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{7^k}{\vektor{3k \\ k}} [/mm] |
kann mir da jemand helfen?
also ich weiß, dass die erste Reihe die Leibnitzreihe ist, aber ich schaffe es nicht richtig das Leibnitzkriterium drauf anzuwenden
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:48 Sa 24.11.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
in der Tat, bei der ersten Reihe kannst du über das Leibniz Konvergenz-Kriterium argumentieren. Was sagt das Kriterium denn?!
Sei [mm] (a_n)_{n\in\IN} [/mm] eine monoton fallende Folge nicht-negativer Zahlen mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n=0. [/mm] So konvergiert die alternierende Reihe
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} (-1)^n(a_n).
[/mm]
Du hast:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^k}{2k+1}=\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k\bruch{1}{2k+1}=\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^ka_k
[/mm]
mit [mm] a_k=\bruch{1}{2k+1}
[/mm]
Du musst zeigen, dass [mm] a_k=\bruch{1}{2k+1}
[/mm]
i) monoton fallend,
ii) nicht-negativ ist und
das
iii) [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} a_k=0 [/mm] gilt.
MfG barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:03 Sa 24.11.2007 | | Autor: | buef |
okay zur 1
$ [mm] a_k=\bruch{1}{2k+1} [/mm] $
ia: k=0
[mm] \bruch{1}{1}=1>0
[/mm]
iv gilt für beliebiges aber festes k
is: dan gilt es auch für den nachfolger
[mm] \bruch{1}{2k+1} [/mm] >= [mm] \bruch{1}{2(k+1)+1}
[/mm]
2k+3 >= 2k+1
(ii)
[mm] \bruch{1}{2k+1}=0
[/mm]
mulitpiliziert mit 2k+1
1 [mm] \neq [/mm] 0
(iii)
habe ich das nicht schon gezeigt, indem ich bei (i) gezeigt habe, dass es eine NF ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:17 Sa 24.11.2007 | | Autor: | max3000 |
Das ist eine etwas seltsame Argumentation.
(ii) nichtnegativ, d.h.
[mm] \bruch{1}{2k+1}>0
[/mm]
Das ist eigentlich klar. nur das mit dem [mm] 1\ne0 [/mm] ist irgendwie komisch. Mach es mit >.
(iii)
Nullfolge, dann macht man das mit dem Limes.
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{1}{2k+1}
[/mm]
[mm] =\limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{1}{k}}{2+\bruch{1}{k}}
[/mm]
[mm] =\bruch{0}{2}=0
[/mm]
So zeigt man, dass es eine Nullfolge ist.
Kannst das natürlich auch mit der Definition des Grenzwertes machen
(für alle [mm] \epsilon>0 [/mm] ex. [mm] N\in\IN, [/mm] dann gilt für alle [mm] n>N:|a_n|<\epsilon.
[/mm]
Das dürfte aber etwas schwieriger sein, als das mit dem Limes.
Gruß
Max
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:34 Sa 24.11.2007 | | Autor: | buef |
kann mir noch jemand bei der 2ten reihe helfen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:47 Sa 24.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo buef
hast du den Nenner mal ausgeschrieben? was hast du probiert? Welche Verfahren um Konvergenz zu bestimmen hattet ihr?
Du weisst doch: Deine Versuche zuerst, dann unsere Hilfe (Forenregeln)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:01 Sa 24.11.2007 | | Autor: | anjka82 |
2) Eigentlich esmuss mit Quotientenkriterim gehen, aber ich komme da auch nicht weit
[mm] (7^k)/\vektor{3k \\ k} [/mm] = [mm] ((7^k)*(2k)!)/3
[/mm]
[mm] \vmat{ a_{n+1}/a_{n}} [/mm] = ?????
kann mir jemand weiter helfen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:17 Sa 24.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> 2) Eigentlich esmuss mit Quotientenkriterim gehen, aber ich
> komme da auch nicht weit
> [mm](7^k)/\vektor{3k \\ k}[/mm] = [mm]((7^k)*(2k)!)/3[/mm]
Das ist falsch!
[mm] \vektor{3k \\ k}=\bruch{(3k)!}{k!*(2k)!}
[/mm]
das kann man nicht so kürzen!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:12 Sa 24.11.2007 | | Autor: | anjka82 |
[mm] \bruch{\bruch{(7^{k+1})*(k+1)!*(2k+2)!}{(3k+3)!}}{\bruch{(7^{k})2k!}{3k!}}=\bruch{7(k+1)(2k+2)}{3k+3} [/mm] ist das richtig so?
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Hallo anjka,
nein, du hast falsch gekürzt:
>
> [mm]\bruch{\bruch{(7^{k+1})*(k+1)!*(2k+2)!}{(3k+3)!}}{\bruch{(7^{k})2k!}{3k!}} [ok] =\bruch{7(k+1)(2k+2)}{3k+3}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> ist das richtig so?
Es ist [mm] $(2k+2)!=(2k)!\cdot{}(2k+1)\cdot{}(2k+2)$ [/mm] und ebenso
[mm] $(3k+3)!=(3k)!\cdot{}(3k+1)\cdot{}(3k+2)\cdot{}(3k+3)$
[/mm]
Damit erhältst du nach ausgiebigem Kürzen
[mm] $...=\frac{7(k+1)(2k+1)(2k+2)}{(3k+1)(3k+2)\underbrace{(3k+3)}_{=3(k+1)}}=\frac{7(2k+1)(2k+2)}{3(3k+1)(3k+2)}$
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:31 Sa 24.11.2007 | | Autor: | anjka82 |
aber, dann divergiert die Reihe oder?
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Hi,
jo, wenn ich das richtig sehe, ist [mm] $\lim\limits_{k\to\infty} \frac{7}{3}\frac{(2k+1)(2k+2)}{(3k+1)(3k+2)}=\frac{7}{3}\cdot{}\frac{4}{9}=\frac{28}{27}>1$
[/mm]
Damit divergiert das Biest, da haste recht
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:26 Sa 24.11.2007 | | Autor: | anjka82 |
Danke!!!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:23 Sa 24.11.2007 | | Autor: | gladice |
du musst [mm] (-1)^k [/mm] ausklammern. dann musst du zeigen, dass 1/2k+1 mon fallende nullfolge ist
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