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Forum "Lineare Algebra / Vektorrechnung" - Problem mit parameter
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Problem mit parameter: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:28 Mo 28.02.2005
Autor: Max80

Hi @all. Ich habe hier eine aufgabe mit einem r statt einer zahl. Die Aufgabenstellung lautet:
"Für welchen Wert des Parameters hat das Gleichungssystem genau eine Lösung, keine Lösung, unendliche Lösungen?"
Und die aufgabe:

[mm] 3x_1-2x_2+rx_3=4 [/mm]
  [mm] x_1+3x_2- x_3=1 [/mm]
[mm] 2x_1-5x_2+3x_3=3 [/mm]

nun habe ich folgendermaßen angefangen (wusste nicht wirklich wie ich mit dem r umgehen sollte daher denke ich ist das weitgehend falsch^^):

[mm] x_1+3x_2-x_3=1 [/mm]
[mm] 2x_1-5x_2+3x_3=3 [/mm]
[mm] 3x_1-2x_2+rx_3=4 [/mm]

[mm] x_1+3x_2-x_3=1 [/mm]
     [mm] -11x_2+5x_3=1 [/mm]
     [mm] -11x_2+(r+3)x_3=1 [/mm]

[mm] x_1+3x_2-x_3=1 [/mm]
      [mm] -11x_2+5x_3=1 [/mm]
            [mm] (r-2)x_3=0 [/mm]

nun komme ich nicht weiter :(
ich meine ich hab ja jetzt die stufen form nur ist das richtig so? und wie geht das jetzt mit der lösungsmenge?? :(

thx & cu
        
Bezug
Problem mit parameter: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:44 Mo 28.02.2005
Autor: Julius

Hallo Bunti!

>  "Für welchen Wert des Parameters hat das Gleichungssystem
> genau eine Lösung, keine Lösung, unendliche Lösungen?"
>  Und die aufgabe:
>  
> [mm]3x_1-2x_2+rx_3=4 [/mm]
>    [mm]x_1+3x_2- x_3=1 [/mm]
>  [mm]2x_1-5x_2+3x_3=3 [/mm]
>  
> nun habe ich folgendermaßen angefangen (wusste nicht
> wirklich wie ich mit dem r umgehen sollte daher denke ich
> ist das weitgehend falsch^^):
>  
> [mm]x_1+3x_2-x_3=1 [/mm]
>  [mm]2x_1-5x_2+3x_3=3 [/mm]
>  [mm]3x_1-2x_2+rx_3=4 [/mm]
>  
> [mm]x_1+3x_2-x_3=1 [/mm]
>       [mm]-11x_2+5x_3=1 [/mm]
>       [mm]-11x_2+(r+3)x_3=1 [/mm]
>  
> [mm]x_1+3x_2-x_3=1 [/mm]
>        [mm]-11x_2+5x_3=1 [/mm]
>              [mm](r-2)x_3=0 [/mm]

Ja, bis dahin stimmt alles!! [daumenhoch]

Jetzt unterscheide mal die Fälle $r=2$ und $r [mm] \ne [/mm] 2$.

Im Falle $r=2$ steht in der letzten Zeile:

$0 [mm] \cdot x_3=0$, [/mm]

und dies ist für jedes [mm] $x_3 \in \IR$ [/mm] erfüllt. Wählst du nun [mm] $x_3 \in \IR$ [/mm] beliebig, so lassen sich daraus mit Hilfe der beiden anderen verbliebenen Gleichungn [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] berechnen. In diesem Fall gibt es also unendlich viele Lösungen (für jede Wahl von [mm] $x_3$ [/mm] eine).

Wie sieht es denn im Falle $r [mm] \ne [/mm] 2$ aus? Hast du eine Idee? Wie kommt man dann an [mm] $x_3$? [/mm] Und wie anschließend an [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$? [/mm] Ist die Lösung in diesem Fall also eindeutig?

Kann auch der Fall eintreten, dass gar keine Lösung existiert? Im Allgemeinen und speziell hier?

Wir freuen uns auf deine Ideen. :-)

Viele Grüße
Julius

Bezug
                
Bezug
Problem mit parameter: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:45 Mo 28.02.2005
Autor: Max80

hmm. also so ganz sicher bin ich mir ja nicht, aber ich würde jetzt sagen wenn

r [mm] \not= [/mm] 2
dann MUSS x3 = 0 sein. das würde dazu führen das es für r [mm] \not= [/mm] 2 genau eine lösung gibt weil es ja bei null immer aufs gleiche hinaus läuft, oder??
Bezug
                        
Bezug
Problem mit parameter: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:22 Mo 28.02.2005
Autor: AgentSmith


> hmm. also so ganz sicher bin ich mir ja nicht, aber ich
> würde jetzt sagen wenn
>  
> r [mm]\not=[/mm] 2
>  dann MUSS x3 = 0 sein. das würde dazu führen das es für r
> [mm]\not=[/mm] 2 genau eine lösung gibt weil es ja bei null immer
> aufs gleiche hinaus läuft, oder??
>  

Stimmt soweit. Wenn r[mm]\not=[/mm]2, dann steht in der untersten Zeile ja [mm]\mbox{(irgendeine Zahl außer 0)}* x_{3}=0[/mm], also folgt daraus [mm] x_{3}=0. [/mm] Wenn du das in die Zweite Zeile einsetzt, folgt daraus [mm] x_{2}=0, [/mm] und wenn du das wiederum in die erste Zeile einsetzt, erhältst du [mm] x_{1}=0. [/mm] Und [mm] x_{1}=x_{2}=x_{3}=0 [/mm] ist somit immer die Lösung für r[mm]\not=[/mm]2
Hattest also Recht gehabt mit deiner Vermutung

AgentSmith
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