Problem mit Ableitung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen der stationären Punkte von f:
[mm] f(x,y)=x^3-2x^2+2xy-xy2+3 [/mm] |
Hallo zusammen!
Gott weiß ob ich hier richtig bin;)
Gegeben ist die oben genannte Aufgabenstellung.
Als erstes muß ich ja nach x und y Ableiten.
[mm] fx(x,y)=3x^2^-4x+2y-y^2
[/mm]
dann nach y
und rauskommen soll:
fy(x,y)=2x-2xy
=2x(1-y)=0
x=0
y=1
Wenn ich nach y Ableite, komme ich aber auf [mm] x^3-2x^2+2x-2xy
[/mm]
Warum fällt [mm] x^3-2x^2 [/mm] einfach weg?
Und wie komme ich auf die 2x(1-y)=0
Tausend Dank!
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Hallo, möchtest du nach y ableiten, so sind die Terme [mm] x^{3}, -2x^{2} [/mm] und 3 jeweils Konstanten, nicht von y abhängig, du betrachtest noch die Terme [mm] 2xy-xy^{2}, [/mm] wobei hier 2x und -x Faktoren sind,
2x-2xy klammere hier 2x aus
2x(1-2y)
2x(1-y)=0
1. Faktor: 2x=0 somit x=0
2. Faktor: 1-y=0 somit y=1
Steffi
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Das klingt sehr plausibel. Danke dafür!
Können wir das ganze mal an einem anderen Beispiel durchgehen?
gegeben:
[mm] f(x,y)=x^4+y^4+2x^2y^2-2x^2-18y^2+3
[/mm]
Ableitung nach x:
[mm] fx(x,y)=4x^3+4xy^2-4x
[/mm]
und nach y:
[mm] fy(x,y)=4y^3+4x^2y-36y
[/mm]
von fx 4x ausklammern:
[mm] 4x(x^2+y^2-1)=0
[/mm]
somit:
x=0
und
y=1
Stimmt das soweit?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:10 Di 10.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Das klingt sehr plausibel. Danke dafür!
>
> Können wir das ganze mal an einem anderen Beispiel
> durchgehen?
>
> gegeben:
>
> [mm]f(x,y)=x^4+y^4+2x^2y^2-2x^2-18y^2+3[/mm]
>
> Ableitung nach x:
> [mm]fx(x,y)=4x^3+4xy^2-4x[/mm]
> und nach y:
> [mm]fy(x,y)=4y^3+4x^2y-36y[/mm]
>
> von fx 4x ausklammern:
>
> [mm]4x(x^2+y^2-1)=0[/mm]
>
> somit:
>
> x=0
> und
> y=1
>
> Stimmt das soweit?
nein ! [mm]4x(x^2+y^2-1)=0[/mm] [mm] \gdw [/mm] x=0 oder [mm] x^2+y^2=1
[/mm]
FRED
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Jetzt stellst Du mich aber vor Probleme.
Leider kann ich der Rechnung nicht nicht so recht folgen.
Auf die gefahr hin dass ich mich jetzt in Grund und Boden blamiere:
x=0 ich gehe mal davon aus, dass das richtig ist.
dann ist doch [mm] x^2 [/mm] auch 0
somit bleibt [mm] y^2-1
[/mm]
wenn y=1, [mm] y^2 [/mm] =1 und 1-1 = 0
Wo ist da jetzt der Denkfehler oder ist alles kompletter nonsense?
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Hallo,
du hast doch zwei Faktoren:
1. Faktor: 4x=0
2. Faktor: [mm] x^{2}+y^{2}-1=0
[/mm]
jeder dieser beiden Faktoren ist einzeln zu betrachten, du darfst hier nicht x=0, Lösung aus 4x=0 (1. Faktor), in [mm] x^{2}+y^{2}-1=0 [/mm] einsetzen
Steffi
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Hallo,
Du hattest
>$ [mm] f_x(x,y)=4x^3+4xy^2-4x [/mm] $
= [mm] 4x(x^2+y^2-1)
[/mm]
>
> $ [mm] f_y(x,y)=4y^3+4x^2y-36y [/mm] $
[mm] =4y(y^2+x^2-9)
[/mm]
Zu lösen ist also das System
I: 0= [mm] 4x(x^2+y^2-1)
[/mm]
[mm] II:0=4y(y^2+x^2-9)
[/mm]
Aus I. folgt a. x=0 oder b. [mm] x^2= 1-y^2
[/mm]
Fall a.: x=0
Einsetzen in II. liefert [mm] 0=4y(y^2-9) [/mm] ==> y= ???,
und die kritischen Punkte sind (0, ... ) , (0, ...) , (0, ...)
Fall b.: [mm] x^2= 1-y^2
[/mm]
Einsetzen in II. liefert.
[mm] 0=4y(y^2 +1-y^2 [/mm] -9) ==> y= ???
und der kritische Punkt ist ???
Gruß v. Angela
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Danke für deine Erläuterung.
y=3
P1=(0,0), P2=(0,3) P4=(2.83,3) P5=(-2.83,3)?
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Hallo nureinnarr,
> Danke für deine Erläuterung.
>
> y=3
>
> P1=(0,0), P2=(0,3) P4=(2.83,3) P5=(-2.83,3)?
P1 und P2 stimmen. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
P4 und P5 mußt Du nochmal nachrechnen.
Außerdem fehlt der Punkt P3.
Gruss
MathePower
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Jetzt stellt sich mir noch eine Frage:
Ich bilde nun eine Hesse-Matrix um den Typ der Punkte zu ermitteln.
Dafür brauche ich die zweite Ableitung.
Also:
f(xx)
f(yy)
und
f(xy)=f(yx) <== Wie bilde ich denn diese Ableitung?
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Hallo nureinnarr!
> f(xy)=f(yx) <== Wie bilde ich denn diese Ableitung?
Für [mm] $f_{xy}$ [/mm] nimmst Du [mm] $f_x$ [/mm] und leitest nun nach $y_$ ab.
Für [mm] $f_{yx}$ [/mm] nimmst Du [mm] $f_y$ [/mm] und leitest nun nach $x_$ ab.
Wenn Du richtig gerechnet hast, sollten auch beide Ableitungen übereinstimmen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:46 Di 10.11.2009 | | Autor: | nureinnarr |
Danke für den Tipp Roadrunner!
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