Problem "isolierter Punkt" < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:42 Do 13.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Hallo, habe folgendes Problem. Und zwar kann ich mir nicht vorstellen, was isolierte Punkte sein sollen.
Laut Def. gilt folgendes:
Ist a isolierter Punkt von X, so gilt x [mm] \in [/mm] A, und jede konvergente Folge
[mm] (x_{n}) \in X^{\IN} [/mm] wird schließlich konstant.
Aber was bedeutet das? Vllt wäre gut, wenn ich mal ein Beispiel sehen würde. Danke vielmals.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:03 Do 13.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo, habe folgendes Problem. Und zwar kann ich mir nicht
> vorstellen, was isolierte Punkte sein sollen.
>
> Laut Def. gilt folgendes:
>
> Ist a isolierter Punkt von X, so gilt x [mm]\in[/mm] A,
O.K.
> und jede
> konvergente Folge
> [mm](x_{n}) \in X^{\IN}[/mm] wird schließlich konstant.
Das ist doch Quatsch ! Zitiere doch richtig ! Es muß lauten:
..... und jede konvergente Folge [mm](x_{n}) \in A^{\IN}[/mm] wird schließlich konstant.
Wobei ich annehme, dass X ein metr. Raum und A eine Teilmenge von X ist
>
> Aber was bedeutet das? Vllt wäre gut, wenn ich mal ein
> Beispiel sehen würde. Danke vielmals.
Nimm mal X = [mm] \IR [/mm] und A = [0,1] [mm] \cup [/mm] { 17 }
Dann ist 17 ein isolierter Punkt von A
Oder : X = [mm] \IR^2, A=\{ (x,y) \in X: x^2+y^2=4 \} \cup \{(123456,78934)\}
[/mm]
(123456,78934) ist ein isolierter Punkt von A
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:09 Do 13.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Hmm..erstmal danke für die Antwort.
Aber so richtig versteh tu ich das nicht:
> und jede konvergente Folge $ [mm] (x_{n}) \in A^{\IN} [/mm] $ wird schließlich
> konstant
Ok, sry, war ein Tippfehler. Statt A sollte da "nur" X stehn.
Aber die Beispiele versteh ich nicht. Im Skript haben wir das Beispiel hier:
X:= (1,2) [mm] \cup {\bruch{1}{n} | n \in \IN}
[/mm]
Und da steht, dass die Zahlen [mm] \bruch{1}{n} [/mm] mit n [mm] \in \IN [/mm] außer {1} isolierte Punkte sind.
Aber wieso?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:13 Do 13.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hmm..erstmal danke für die Antwort.
>
> Aber so richtig versteh tu ich das nicht:
>
> > und jede konvergente Folge [mm](x_{n}) \in A^{\IN}[/mm] wird
> schließlich
> > konstant
>
> Ok, sry, war ein Tippfehler. Statt A sollte da "nur" X
> stehn.
Hä ? Stelle mal klar, was der Grundraum ist. X oder A ? Ist der Grundraum ein metrischer Raum ?
>
> Aber die Beispiele versteh ich nicht. Im Skript haben wir
> das Beispiel hier:
>
> X:= (1,2) [mm]\cup {\bruch{1}{n} | n \in \IN}[/mm]
Stelle das mal bitte so dar, das man es lesen kann. Bring bitte Klarheit in Deine Anfragen !!
FRED
>
> Und da steht, dass die Zahlen [mm]\bruch{1}{n}[/mm] mit n [mm]\in \IN[/mm]
> außer {1} isolierte Punkte sind.
>
> Aber wieso?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:20 Do 13.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Es ist nur X gemeint. Das A bitte einfach wegdenken xD. Ich schreibs besser nochmal auf. Also:
Ist a isolierter Punkt von X, dann gilt insbesondere a [mm] \in [/mm] X, und jede konvergente Folge [mm] (x_{n}) \in X^{\IN} [/mm] gegen a wird schließlich konstant. So. ;)
Obs aber nun ein metrischer Raum ist, steht hier nicht. ich weiß noch nichtmal, was das ist. xD
Ähm, sry, hab grad irgendwie Probleme mit dem Editor:
Die Menge ist X:= (1,2) [mm] \cup [/mm] { [mm] \bruch{1}{n} [/mm] | n [mm] \in \IN [/mm] } . Dann sollen die Zahlen 1/n außer 1 isolierte Punkte von X sein, aber wieso?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:36 Do 13.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es ist nur X gemeint. Das A bitte einfach wegdenken xD. Ich
> schreibs besser nochmal auf. Also:
>
> Ist a isolierter Punkt von X, dann gilt insbesondere a [mm]\in[/mm]
> X, und jede konvergente Folge [mm](x_{n}) \in X^{\IN}[/mm] gegen a
> wird schließlich konstant. So. ;)
>
> Obs aber nun ein metrischer Raum ist, steht hier nicht. ich
> weiß noch nichtmal, was das ist. xD
vielleicht geht's bei Euch um [mm] $X=\IR$ [/mm] mit "üblichem Abstand".
> Ähm, sry, hab grad irgendwie Probleme mit dem Editor:
>
> Die Menge ist X:= (1,2) [mm]\cup \{ \bruch{1}{n} | n\in \IN\}[/mm] .
> Dann sollen die Zahlen 1/n außer 1 isolierte Punkte von X
> sein, aber wieso?
Naja, [mm] $1\,$ [/mm] kann nicht isoliert sein, weil [mm] $(1,\epsilon)$ [/mm] für jedes [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ unendlich viele Punkte aus [mm] $X\,$ [/mm] enthält.
Für eine feste Zahl [mm] $z_n:=1/n \in [/mm] X$ ($n [mm] \ge [/mm] 2$) schau' doch mal, welchen "Abstand die nächsten Nachbarn" aus [mm] $X\,$ [/mm] zu [mm] $z_n$ [/mm] haben...
Tipp:
Skizziere Dir mal [mm] $X\,$ [/mm] auf dem Zahlenstrahl... Das liefert sofort eine Idee. Der Beweis ist dann nur noch Formalität.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:44 Do 13.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Hmm..ich glaube, dass ich langsam anfange, dass zu verstehn xD
Ich versuch jetzt mal, Beispiele zu geben.
Also,
(1) [a,b] Intervall
Da würde es keinen isolierten Punkt geben, weil jede Umgebung [mm] U_{\varepsilon} [/mm] neben a auch endlich viele Punkte enthält.
(2) {1} [mm] \cup [/mm] {2}
Hier wären sowohl 1 und 2 isolierte Punkte, da es eine [mm] U_{\varepsilon} [/mm] gibt, die nur den Punkt 1 enthält bzw. nur den Punkt 2.
Stimmt das soweit?
Bei 1/n gibt es für n [mm] \in \IN [/mm] ja "Lücken" zwischen den einzelnen Zahlenwerten. Also 1/2, 1/3, 1/4 ... Deswegen alles isolierte Punkte. Außer 1, weil es wegen dem Intervall noch andere Punkte in einer Umgebung geben würde.
Stimmt das soweit?
Wie könnte man denn sowas beweisen bzw. müsste ich das, wenn ich sowas in der Arbeit hätte?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:00 Do 13.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hmm..ich glaube, dass ich langsam anfange, dass zu verstehn
> xD
>
> Ich versuch jetzt mal, Beispiele zu geben.
>
> Also,
>
> (1) [a,b] Intervall
>
> Da würde es keinen isolierten Punkt geben, weil jede
> Umgebung [mm]U_{\varepsilon}[/mm] neben a
naja, wenn ich einen Punkt dieses Intervalls hernehme und eine Umgebung um diesen klein genug wähle, wird [mm] $a\,$ [/mm] nicht mehr in dieser liegen; sofern der Punkt nicht selbst [mm] $a\,$ [/mm] war. (Vielleicht ist's nur ein Bezeichnungswirrwarr: Bei Dir ist [mm] $a\,$ [/mm] fest, nämlich die linke Intervallgrenze des Intervalls [mm] $[a,b]\,.$) [/mm] Aber das folgende
> auch endlich viele Punkte
> enthält.
stimmt dann so auch fast:
Anstatt von [mm] $a\,$ [/mm] reden wir hier besser von einem Punkt $x [mm] \in [a,b]\,,$ [/mm] den wir festhalten wollen. Und jede Umgebung um diesen Punkt enthält außer [mm] $x\,$ [/mm] auch immer endlich viele andere. Alleine daraus kannst Du dann schon folgern, dass jede solche Umgebung neben [mm] $x\,$ [/mm] auch unendlich viele andere Punkte enthält, und der andere Schluss ist trivial: Wenn eine jede neben [mm] $x\,$ [/mm] auch unendlich viele andere enthält, dann auch endlich viele. Eine weitere äquivalente Fassung wäre es hier, zu sagen: Jede Umgebung enthält neben [mm] $x\,$ [/mm] auch (mindestens) einen weiteren Punkt.
> (2) {1} [mm]\cup[/mm] {2}
>
> Hier wären sowohl 1 und 2 isolierte Punkte, da es eine
> [mm]U_{\varepsilon}[/mm] gibt, die nur den Punkt 1 enthält bzw. nur
> den Punkt 2.
>
> Stimmt das soweit?
Ja! Um ein solches [mm] $\epsilon$ [/mm] anzugeben: Es darf je nach Punkt variieren (man kann also ein [mm] $\epsilon_1 [/mm] > 0$ für den Punkt [mm] $1\,$ [/mm] und ein [mm] $\epsilon_2 [/mm] > 0$ für den Punkt [mm] $2\,$ [/mm] passend angeben). Hier kann man aber sogar für beide ein "universelles" angeben: Etwa [mm] $\epsilon=1$ [/mm] (oder jede andere Zahl $0 < [mm] \epsilon [/mm] < [mm] 1\$). [/mm]
> Bei 1/n gibt es für n [mm]\in \IN[/mm] ja "Lücken" zwischen den
> einzelnen Zahlenwerten. Also 1/2, 1/3, 1/4 ... Deswegen
> alles isolierte Punkte. Außer 1, weil es wegen dem
> Intervall noch andere Punkte in einer Umgebung geben
> würde.
>
> Stimmt das soweit?
Ja. Reicht mir aber noch nicht als Beweis.
> Wie könnte man denn sowas beweisen bzw. müsste ich das,
> wenn ich sowas in der Arbeit hätte?
Z.B. so (mach Dir das z.B. mal konkret für den Fall [mm] $n_0=4\,$ [/mm] bei Deiner Aufgabe klar):
Wir betrachten ein festes [mm] $n_0 \in \IN$, $n_0 \ge 2\,$ [/mm] und [mm] $z_{n_0}=1/n_0\,.$ [/mm] (Jetzt schau' mal auf's Bild: Der "linksgelegene Nächste Nachbar von [mm] $z_{n_0}"$ [/mm] ist [mm] $1/{(n_0+1)}\,,$ [/mm] der "rechtsgelegene Nächste Nachbar von [mm] $z_{n_0}$" [/mm] ist [mm] $1/{(n_0-1)}\,.$ [/mm] )
1.) Berechne den Abstand zwischen [mm] $z_{n_0}=1/{n_0}$ [/mm] und [mm] $1/(n_0+1)\,.$
[/mm]
(Ggf. dran denken, Betragsstriche zu benutzen:
[mm] $|1/{(n_0+1)}-z_{n_0}|=\frac{1}{n_0}-\frac{1}{n_0+1}=...$)
[/mm]
2.) Berechne den Abstand zwischen [mm] $z_{n_0}=1/{n_0}$ [/mm] und [mm] $1/(n_0-1)\,.$
[/mm]
3.) Begründe, dass diese beiden Zahlen nicht 0, und damit $> [mm] 0\,$ [/mm] sind.
4.) Setze [mm] $\epsilon=\epsilon_0$ [/mm] als das Minum der beiden Zahlen (um's deutlicher zu machen, kann man auch das Mimum der Hälfte dieser beiden Zahlen nehmen) fest. (Dieses wird dann, wie man auch am Bild sieht, durch den Abstand des linken Nachbarn zu [mm] $z_{n_0}$ [/mm] festgelegt.) Dieses ist insbesondere dann auch $ > [mm] 0\,.$
[/mm]
5.) Zeige: In der offenen [mm] $\epsilon_0$-Umgebung [/mm] (hier ist das eigentlich ein offenes Intervall) um [mm] $z_{n_0}=1/{n_0}$ [/mm] befindet sich kein weiterer Punkt der Menge; also weder eine Zahl aus [mm] $(1,2)\,,$ [/mm] noch eine Zahl $1/M$ mit einem $M [mm] \in \IN_{\ge 1}\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:30 Do 13.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo, habe folgendes Problem. Und zwar kann ich mir nicht
> vorstellen, was isolierte Punkte sein sollen.
>
> Laut Def. gilt folgendes:
>
> Ist a isolierter Punkt von X, so gilt x [mm]\in[/mm] A,
ist hier [mm] $x=a\,$? [/mm] Ansonsten steht da sowas wie:
Wenn [mm] $(-2)^2=4\,,$ [/mm] so gilt $x [mm] \in A\,.$ [/mm] Zusammenhang?
> und jede
> konvergente Folge
> [mm](x_{n}) \in X^{\IN}[/mm] wird schließlich konstant.
Ja? Wenn das so da steht, ist es Unfug:
Die konvergente Folge sollte schon so sein, dass sie einen gewissen Grenzwert hat.
> Aber was bedeutet das? Vllt wäre gut, wenn ich mal ein
> Beispiel sehen würde. Danke vielmals.
Naja, Du kannst Dir isolierte Punkte so vorstellen, dass Du, wenn Du einen hast, um ihn eine (in [mm] $X\,$ [/mm] enthaltene) offene [mm] $\epsilon$-Kugel ($\epsilon [/mm] > 0$), wenn Du [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ nur klein genug wählst, legen kannst, so dass diese nur den Punkt selbst enthält. Auch ich denke momentan, wenn ich das so formuliere, erstmal nur in metrischen Räumen...
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
> Hallo, habe folgendes Problem. Und zwar kann ich mir nicht
> vorstellen, was isolierte Punkte sein sollen.
>
> Laut Def. gilt folgendes:
>
> Ist a isolierter Punkt von X, so gilt x [mm]\in[/mm] A, ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Das sollte dann wohl a [mm]\in[/mm] X heißen und nicht x [mm]\in[/mm] A .
Zudem solltest du zuerst klar angeben, was mit der Menge X
gemeint sein soll, nämlich z.B. eine Menge mit einer Metrik,
bezüglich welcher man überhaupt von Konvergenz sprechen
kann.
> und jede konvergente Folge
> [mm](x_{n}) \in X^{\IN}[/mm] wird schließlich konstant.
Bestimmt nicht einfach jede Folge, falls die Menge X ausser
a noch andere Elemente besitzt.
Gemeint sind wohl Folgen mit dem Grenzwert a .
> Aber was bedeutet das? Vllt wäre gut, wenn ich mal ein
> Beispiel sehen würde. Danke vielmals.
Zu einem isolierten Punkt a einer (metrischen) Menge X
existiert ein "Minimalabstand" r>0 mit der Eigenschaft,
dass die Menge $\ U\ =\ [mm] \{\ x\in X\ |\ d(x,a)
Element a besteht, also $\ U\ =\ [mm] \{\ a\ \}$
[/mm]
Soll eine Folge von Elementen aus X gegen a konvergieren,
muss aber für fast alle Glieder (alle mit endlich vielen Aus-
nahmen) der Folge die Ungleichung d(x,a)<r erfüllt sein.
Also müssen alle diese Glieder mit a identisch sein.
Ist K die größte natürliche Zahl mit [mm] x_k\notin [/mm] U , so ist die
Folge der [mm] x_n [/mm] ab dem Glied [mm] x_{K+1} [/mm] konstant:
$\ [mm] x_{K+1}\ [/mm] =\ [mm] x_{K+2}\ [/mm] =\ [mm] x_{K+3}\ [/mm] =\ [mm] x_{K+4}\ [/mm] =\ .......\ =\ a$
LG Al-Chw.
|
|
|
|
