Problem beim Lösen eines LGS < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:02 Mo 11.06.2007 | | Autor: | Max80 |
| Aufgabe | Prüfen Sie die folgenden Vektoren auf lineare Abhängigkeit:
[mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 1} [/mm] , [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 1 \\ 0} [/mm] , [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 3} [/mm] , [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3 \\ 4}
[/mm]
Lösung: Linear abhängig! |
Ich komme bei dieser Gleichung irgendwie nicht voran. Dieses Gaußsche Lösungsverfahren finde ich irgendwie ziemlich schwer, weil man nie weiß, wie man vorgehen muss...
So hab ich das jetzt angefangen:
[mm] x_1 [/mm] + [mm] x_4 [/mm] = 0
[mm] x_2 [/mm] + [mm] x_4 [/mm] = 0
[mm] x_2 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] + [mm] 3x_4 [/mm] = 0
[mm] x_1 [/mm] + [mm] 3x_3 [/mm] + [mm] 4x_4 [/mm] = 0
daraus wurde bei mir:
[mm] x_1 [/mm] + [mm] x_4 [/mm] = 0
[mm] x_2 [/mm] + [mm] x_4 [/mm] = 0
[mm] x_2 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] + [mm] 3x_4 [/mm] = 0
[mm] 3x_3 [/mm] + [mm] 3x_4 [/mm] = 0 ((4)-(3))
und daraus:
[mm] x_1 [/mm] + [mm] x_4 [/mm] = 0
[mm] x_2 [/mm] + [mm] x_4 [/mm] = 0
[mm] x_2 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] + [mm] 3x_4 [/mm] = 0
[mm] -x_2 [/mm] + [mm] 2x_3 [/mm] = 0
ich komme hier irgendwie nicht weiter. ich habe das gefühl ich drehe mich im kreis...
wie kann man das nun lösen sowas? ich hab das gefühl ich form um und form um und wie man sieht, es wird net besser... :)
danke!!!
-bunti
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> Prüfen Sie die folgenden Vektoren auf lineare
> Abhängigkeit:
>
> [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 1}[/mm] , [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 1 \\ 0}[/mm] ,
> [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 3}[/mm] , [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 3 \\ 4}[/mm]
>
> Lösung: Linear abhängig!
> Ich komme bei dieser Gleichung irgendwie nicht voran.
> Dieses Gaußsche Lösungsverfahren finde ich irgendwie
> ziemlich schwer, weil man nie weiß, wie man vorgehen
> muss...
Hallo,
am besten geht man ganz systematisch vor:
> [mm]x_1[/mm] + [mm]x_4[/mm] = 0
> [mm]x_2[/mm] + [mm]x_4[/mm] = 0
> [mm]x_2[/mm] + [mm]x_3[/mm] + [mm]3x_4[/mm] = 0
> [mm]x_1[/mm] + [mm]3x_3[/mm] + [mm]4x_4[/mm] = 0
In Staffel 1 wirft man aus Zeile 1 bis 4 alle [mm] x_1 [/mm] bis auf eins heraus.
Die verbleibende Zeile mit [mm] x_1 [/mm] kommt in die erste Zeile des neuen GS.
Sie interessiert vorläufig nicht mehr.
> [mm]x_1[/mm] + [mm]x_4[/mm] = 0
> [mm]x_2[/mm] + [mm]x_4[/mm] = 0
> [mm]x_2[/mm] + [mm]x_3[/mm] + [mm]3x_4[/mm] = 0
> - [mm]3x_3[/mm] - [mm]3x_4[/mm] = 0 (entstanden durch 1.Zeile-4.Zeile des vorhergehenden Systems)
In Staffel 2 wirft man aus Zeile 2 bis 4 alle [mm] x_2 [/mm] bis auf eins heraus.
Die verbleibende Zeile mit [mm] x_2 [/mm] kommt in die zweite Zeile des neuen GS.
Sie interessiert vorläufig nicht mehr.
> [mm]x_1[/mm] + [mm]x_4[/mm] = 0
> [mm]x_2[/mm] + [mm]x_4[/mm] = 0
> -[mm]x_3[/mm] - [mm]x_4[/mm] = 0 (2.Zeile-3.Zeile)
> [mm]x_1[/mm] + [mm]x_4[/mm] = 0
> [mm]x_2[/mm] + [mm]x_4[/mm] = 0
> -[mm]x_3[/mm] - [mm]x_4[/mm] = 0 (2.Zeile-3.Zeile)
> - [mm]3x_3[/mm] - [mm]3x_4[/mm] = 0
> - [mm]3x_3[/mm] - [mm]3x_4[/mm] = 0
In Staffel 3 wirft man aus Zeile 3 bis 4 alle [mm] x_3 [/mm] bis auf eins heraus.
Die verbleibende Zeile mit [mm] x_3 [/mm] kommt in die dritte Zeile des neuen GS.
Sie interessiert vorläufig nicht mehr.
> [mm]x_1[/mm] + [mm]x_4[/mm] = 0
> [mm]x_2[/mm] + [mm]x_4[/mm] = 0
> -[mm]x_3[/mm] - [mm]x_4[/mm] = 0
> 0 = 0 (3*3.Zeile-4.Zeile)
Du siehst hier eine Nullzeile, d.h. die Lösung des Gleichungssystems ist ein eindimensionaler UVR des [mm] \IR^4.
[/mm]
Was bedeutet das??? Nicht nur [mm] x_1=x_2=x_3=x_4=0 [/mm] löst das System.
Wie ist es also um die lineare Unabhängigkeit bestellt?
Für das Gaußverfahren gibt es ein Matrixschema, welches erstens sehr übersichtlich ist, und einem zweitens Schreibarbeit erspart.
Das solltest Du Dir unbedingt beibringen.
Ich schreib's jetzt mal kommentarlos für meine obige Rechnung auf, eigentlich müßtest Du durchschauen, wie's geht.
[mm] \pmat{ 1 & 0 &0&1\\ 0 & 1 &0&2\\0 & 1 &1&3\\1 & 0 &3&4}
[/mm]
--> [mm] \pmat{ 1 & 0 &0&1\\ 0 & 1 &0&2\\0 & 1 &1&3\\0 & 0 &-3&-3}
[/mm]
--> [mm] \pmat{ 1 & 0 &0&1\\ 0 & 1 &0&2\\0 & 0 &-1&-1\\0 & 0 &-3&-3}
[/mm]
--> [mm] \pmat{ 1 & 0 &0&1\\ 0 & 1 &0&2\\0 & 0 &-1&-1\\0 & 0 &0&0}
[/mm]
(Zuerst unterhalb des Elementes [mm] a_1_1 [/mm] Nullen erzeugen, dann unterhalb [mm] a_2_2 [/mm] usw.)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:31 Di 12.06.2007 | | Autor: | Max80 |
hey! ich habe nochmal kurz eine frage dazu:
ich habe ja eine Nullzeile hier. Heißt das, dass es unendlich viele Lösungen gibt?
Kann ich dann also sagen:
unendlich viele lösungen: linear abhängig
eine lösung: linear abhängig
keine lösung: linear unabhängig?!
Was ist ein UVR?
Danke!!
-Bunti
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