Problem algebraische Struktur < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:45 Sa 20.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
| Aufgabe | Es sei M := {f : [mm] \IR \to \IR [/mm] | f Funktion} die Menge aller Abbildungen von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR. [/mm] Für f,g [mm] \varepsilon [/mm] M
definieren wir die Abbildungen f +g und f [mm] \* [/mm] g durch
f +g : [mm] \IR \to \IR [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] f (x)+g(x);
f [mm] \* [/mm] g : [mm] \IR \to \IR [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] f(x) [mm] \* [/mm] g(x)
Auf diese Weise erhalten wir eine Addition und eine Multiplikation auf M. Prüfen Sie, ob (R;+; [mm] \*) [/mm] ein
(kommutativer) Ring ist. |
Kann mir jemand da vllt helfen? Ich mein, wie man an diese Aufgabe herangehen könnte.
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo SolRakt,
> Es sei M := {f : [mm]\IR \to \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| f Funktion} die Menge aller
> Abbildungen von [mm]\IR[/mm] nach [mm]\IR.[/mm] Für f,g [mm]\varepsilon[/mm] M
> definieren wir die Abbildungen f +g und f [mm]\*[/mm] g durch
> f +g : [mm]\IR \to \IR[/mm] x [mm]\mapsto[/mm] f (x)+g(x);
> f [mm]\*[/mm] g : [mm]\IR \to \IR[/mm] x [mm]\mapsto[/mm] f(x) [mm]\*[/mm] g(x)
> Auf diese Weise erhalten wir eine Addition und eine
> Multiplikation auf M. Prüfen Sie, ob (R;+; [mm]\*)[/mm] ein
> (kommutativer) Ring ist.
> Kann mir jemand da vllt helfen? Ich mein, wie man an diese
> Aufgabe herangehen könnte.
Na, die Aufgabenstellung ist doch glasklar formuliert!
Du musst die Ringeigenschaften prüfen.
Welche das alle sind, entnehme deiner Vorlesung bzw. deinem Skript ...
Hier ist beim Nachrechnen halt nur im Hinterkopf zu behalten, dass die Ringelemente reellwertige Funktionen sind und die Addition und Multiplikation von Funktionen punktweise definiert sind.
Das neutrale Element bzgl. "+" ist etwa die Nullfunktion [mm]n:\IR\to\IR, x\mapsto 0[/mm]
Also schlage die Axiome nach und prüfe sie ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:29 Sa 20.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Also, hab jetzt mal lange überlegt. Als erster Teil der Defintion für einen Ring gilt doch, dass die Menge bzgl. + eine Gruppe ist. Das wiederum bedeutet, dass bzgl + es ein Monoid sein soll und jedes Element invertierbar ist.
Jetzt habe ich aber doch die Verknüfpung + zweier Funktionen f(x) und g(x). Wie kann man diese Eigenschaften(s.o.) denn daran zeigen? Bei + gilt doch immer Assoziativität ... Ist doch trivial eigentlich. xD Wie kann man das zeigen?
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Hallo nochmal,
> Also, hab jetzt mal lange überlegt. Als erster Teil der
> Defintion für einen Ring gilt doch, dass die Menge bzgl. +
> eine Gruppe ist. Das wiederum bedeutet, dass bzgl + es ein
> Monoid sein soll und jedes Element invertierbar ist.
>
> Jetzt habe ich aber doch die Verknüfpung + zweier
> Funktionen f(x) und g(x). Wie kann man diese
> Eigenschaften(s.o.) denn daran zeigen? Bei + gilt doch
> immer Assoziativität ... Ist doch trivial eigentlich. xD
Ja, wie gesagt, die Addition von Funktionen ist hier punktweise auf den Funktionswerten definiert, also als (punktweise) Addition in [mm] $\IR$
[/mm]
Bedenke, dass 2 Funktionen gleich sind, wenn sie in jedem Funktionswert übereinstimmen, für eine Gleichheit $f=g$ mit [mm] $f,g\in [/mm] M$ musst du also zeigen, dass für alle [mm] $x\in\IR$ [/mm] gilt: $f(x)=g(x)$
Zeige $(M,+)$ ist abelsche Gruppe!
1) Abgeschlossenheit: Ist mit [mm] $f,g\in [/mm] M$ auch [mm] $f+g\in [/mm] M$ ?
2) Assoziativität: Gilt für [mm] $f,g,h\in [/mm] M: (f+g)+h=f+(g+h)$ ?
Auch dies punktweise zurückführen auf die Addition der Funktionswerte
Sei [mm] $x\in\IR$ [/mm] bel., dann ist $(f(x)+g(x))+h(x)=...=f(x)+(g(x)+h(x))$
Da [mm] $x\in\IR$ [/mm] bel. gewählt war, gilt es für alle [mm] $x\in\IR$
[/mm]
3) Existiert ein neutrales Element in $M$?
4) Existiert zu [mm] $f\in [/mm] M$ ein additiv Inverses
5) Gilt Kommutativität? $f+g=g+f?
Alles punktweise nachweisen!
Dann die restlichen Axiome, die die Multiplikation beinhalten ganz ähnlich nachweisen ...
> Wie kann man das zeigen?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:47 Sa 20.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Ja. Ich versteh die Punkte ja auch, auch wenn ich das mit dem "punktweise" nicht verstehe, hmm. Aber z.B. die Assoziativität. Wie soll man das bitte aufschreiben können? Ist doch alles logisch?
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Hallo nochmal,
> Ja. Ich versteh die Punkte ja auch, auch wenn ich das mit
> dem "punktweise" nicht verstehe, hmm. Aber z.B. die
> Assoziativität. Wie soll man das bitte aufschreiben
> können? Ist doch alles logisch?
Ja, schreibe es so auf, wie ich in dem einen Bsp. gemacht habe.
Du musst ja Gleichheit von Funktionen zeigen.
Nimm dir immer ein bel. [mm] $x\in\IR$ [/mm] her, schreibe die Aussagen auf, führe es auf die in der Aufgabenstellung definierte Addition und Multiplikation in [mm] $\IR$ [/mm] (punktweise auf den Funktionswerten) zurück.
In [mm] $\IR$ [/mm] gelten die bekannten Rechnenregeln alle ...
Es ist trivial, du musst es nur formal sauber hinschreiben.
Mache mal das mit dem neutr. ELement bzgl. "+"
Dann sehen wir, ob dir klar ist, was ich meine ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:59 Sa 20.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Möcht dich nicht enttäuschen, aber hab keine Ahnung, worauf du hinausmöchtest, auch wenn ich es gerne verstehen möchte.
Das neutrale Element war doch die Nullfunktion? Oder irre ich mich da? dann würde ich aufschreiben:
(f+g) [mm] \* [/mm] n = (f+g)
Aber das darf ich so nicht, da bin ich mir sicher. Ich krieg einfach diese formale Schreibweise nicht hin.
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Hallo nochmal,
> Möcht dich nicht enttäuschen, aber hab keine Ahnung,
> worauf du hinausmöchtest, auch wenn ich es gerne verstehen
> möchte.
Ich gebe mir weiterhin Mühe, es klarzumachen 
>
> Das neutrale Element war doch die Nullfunktion? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Oder irre
> ich mich da?
Nein
> dann würde ich aufschreiben:
>
> (f+g) [mm]\*[/mm] n = (f+g)
>
> Aber das darf ich so nicht, da bin ich mir sicher. Ich
> krieg einfach diese formale Schreibweise nicht hin.
Ja, das ist Kokolores, die Nullfunktion [mm]n:\IR\to\IR, x\mapsto 0[/mm] ist in M, soweit gut.
Wenn sie neutral in M bzgl. "+" ist, muss gelten [mm]f+n=n+f=f[/mm] für eine bel. Funktion [mm]f\in M[/mm], also für eine bel. Funktion [mm]f:\IR\to\IR[/mm]
Ob nun [mm]n+f*f+n=f[/mm] gilt, musst du punktweise nachrechnen.
Vllt. sollte man die additive Verknüpfung in [mm]M[/mm] mal besser [mm]+_M[/mm] nennen, das ist nämlich NICHT die Verknüpfung "+" in [mm]\IR[/mm]
Zu zeigen ist also [mm]n+_M f=f+_M n=f[/mm], dh. zu zeigen: [mm] $\forall x\in\IR: [/mm] n(x)+f(x)=f(x)+n(x)=f(x)$
dazu: sei [mm]x\in\IR[/mm] bel., dann ist [mm]\underbrace{n(x)+f(x)}_{\text{hier nach Def.} +_M \text{sind wir bei der normalen Addition in} \IR}=0+f(x)=f(x)=f(x)+0=f(x)+n(x)[/mm]
Da [mm]x\in\IR[/mm] bel. gewählt war, gilt diese Gleichheit für alle [mm]x\in\IR[/mm], mithin [mm]n+_Mf=f+_Mn=f[/mm] (erinnere dich, was ich oben schrieb: 2 Fkten sind gleich, wenn sie in jedem Fkt.wert übereinstimmen - genau das haben wir hier gezeigt)
Hoffe, es ist nun klarer...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:20 Sa 20.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Naja. Ich verstehe schon, was du da machst, aber wirklich klar bzw. eindeutig, wie man sowas aufschreibt ist es mir noch nicht geworden. Aber aufgeben tu ich nicht xD
Ich versuchs mal mit der Assoziativität:
Dann soll gelten. Ich lass die Klammern (x) mal weg:
f + (g + h ) = ...
Und jetzt z.B. wüsste ich schon nicht, wie man ansetzen könnte. Wie gesagt, die Anfänge fallen mir schwer.
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Hallo nochmal,
> Naja. Ich verstehe schon, was du da machst, aber wirklich
> klar bzw. eindeutig, wie man sowas aufschreibt ist es mir
> noch nicht geworden. Aber aufgeben tu ich nicht xD
>
> Ich versuchs mal mit der Assoziativität:
>
> Dann soll gelten. Ich lass die Klammern (x) mal weg:
>
> f + (g + h ) = ...
Dieses + ist die Addition von Funktionen, nicht von (reellen) Zahlen
Du willst zeigen, dass die Funktion [mm]f+(g+h)[/mm] dieselbe ist wie die Funktion [mm](f+g)+h[/mm]
Ich wiederhole mich: Funktionen sind gleich, wenn sie in jedem Funktionswert übereinstimmen.
Das musst du zeigen!
Formal: [mm]\forall x\in\IR: [/mm] [mm]f(x)+(g(x)+h(x))=(f(x)+g(x))+h(x)[/mm]
Die Assoziativität der Addition von Funktionen führst du also auf die Assoziativität der (punktweisen) Addition der Funktionswerte zurück.
Du bist also von der Funktionsebene auf die Ebene der reellen Zahlen (Funktionswerte) gewechselt. Und dort gelten bekanntermaßen Assoziativ-, Kommutativgesetz usw. ...
Zeigst du obiges hinter "Formal" also für bel. [mm] $d\in\IR$, [/mm] so gilt es für alle [mm] $x\in\IR$ [/mm] und die Funktionen linkerhand, also $f+(g+h)$ und rechterhand, also $(f+g)+h)$ sind gleich.
Du musst dir klarmachen, auf welcher Ebene du dich gerade bewegst.
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> Und jetzt z.B. wüsste ich schon nicht, wie man ansetzen
> könnte. Wie gesagt, die Anfänge fallen mir schwer.
Gruß
schachuzipus
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