Problem Wohldefiniertheit < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:04 So 23.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
| Aufgabe | Sei R ein Integrit¨atsbereich. Auf R(Rn f0g) ist durch
(x1y,1) [mm] \sim [/mm] (x2,y2) [mm] \gdw [/mm] x1y2 = y1x2
eine Äquivalenzrelation gegeben. Zeigen Sie, dass die Addition
[(x1;y1)]+[(x2;y2)] := [(x1y2+y1x2;y1y2)]
wohldefiniert ist. |
Hallo.
Ist mir zwar etwas unangenehm, aber komme hiermit einfach nicht zurecht.
Muss man für die Wohldefiniertheit nicht einfach zeigen, dass die Relation vertreterunabhängig ist???
Also wähle ich sowas hier:
(x3,y3) [mm] \sim [/mm] (x4,y4) [mm] \gdw [/mm] x3y4= y3x4
wobei x3 und x4 einfach die gleichen Vertreter wie x1 und x2 darstellen (analog für y)
Aber wie fängt da jetzt an? Kann mir jemand bei den Schritten helfen?
Vielen, vielen Dank.
|
|
| |
|
Hallo SolRakt!
> Sei R ein Integrit¨atsbereich. Auf R(Rn f0g) ist durch
>
> (x1y,1) [mm]\sim[/mm] (x2,y2) [mm]\gdw[/mm] x1y2 = y1x2
>
> eine Äquivalenzrelation gegeben. Zeigen Sie, dass die
> Addition
>
> [(x1;y1)]+[(x2;y2)] := [(x1y2+y1x2;y1y2)]
>
> wohldefiniert ist.
> Hallo.
>
> Ist mir zwar etwas unangenehm, aber komme hiermit einfach
> nicht zurecht.
>
> Muss man für die Wohldefiniertheit nicht einfach zeigen,
> dass die Relation vertreterunabhängig ist???
Nicht für die Relation sondern die Addition '+'.
>
> Also wähle ich sowas hier:
>
> (x3,y3) [mm]\sim[/mm] (x4,y4) [mm]\gdw[/mm] x3y4= y3x4
>
> wobei x3 und x4 einfach die gleichen Vertreter wie x1 und
> x2 darstellen (analog für y)
>
> Aber wie fängt da jetzt an? Kann mir jemand bei den
> Schritten helfen?
>
> Vielen, vielen Dank.
Du musst Folgendes zeigen:
Ist [mm] $(x_1,y_1) \sim (x_3,y_3)$ [/mm] und [mm] $(x_2,y_2) \sim (x_4,y_4)$, [/mm] so gilt:
[mm] $[x_3y_4+y_3x_4,y_3y_4] [/mm] = [mm] [x_1y_2+y_1x_2,y_1y_2]$
[/mm]
Also, wegen [mm] $x_1y_3 [/mm] = [mm] y_1x_3$ [/mm] und [mm] $x_2y_4 [/mm] = [mm] y_2x_4$ [/mm] gilt:
[mm] $(x_3y_4+y_3x_4)y_1y_2 [/mm] = [mm] (x_1y_2+y_1x_2)y_3y_4$
[/mm]
LG mathfunnel
|
|
|
|
