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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:37 Do 20.10.2011 | | Autor: | Gabbabin |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass für alle a,x,e [mm] \in \IR, [/mm] e >0 gilt
|x-a| < e [mm] \gdw [/mm] a-e <x<a+e
Nun folgern Sie daraus [mm] U_{e}(a) [/mm] offenes Intvervall (a-e,a+e |
Irgendwie stehe ich gerade voll auf em Schlauch
Ich dachte für [mm] \Rightarrow [/mm] |x-a| <e /+a
x<a+e
|x-a|<e \ -x
|a|<e-x\ -e
a-e<x
[mm] \Rightarrow [/mm] a-e<x<a+e
Aber das ist vermutlich falsch, oder?
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Hallo Gabbabin,
> Zeigen Sie, dass für alle a,x,e [mm]\in \IR,[/mm] e >0 gilt
>
> |x-a| < e [mm]\gdw[/mm] a-e <x<a+e
<x><a+e>>
> Nun folgern Sie daraus [mm]U_{e}(a)[/mm] offenes Intvervall
> (a-e,a+e
Was soll man folgern? Ist die Aufgabe vollständig?
> Irgendwie stehe ich gerade voll auf em Schlauch
> Ich dachte für [mm]\Rightarrow[/mm] |x-a| <e /+a<e +a="">
Mal abgesehen davon, dass unser Editor hier Mist beim Zitieren produziert, verstehe ich überhaupt nicht, was Du da tust.
Sind Dir die Betragsstriche aufgefallen? Du kannst da nicht einfach etwas hineinaddieren oder heraussubtrahieren oder die Betragsstriche weglassen, es sei denn, Du begründest, warum genau der Fall vorliegt, in dem sie wegfallen dürfen (nämlich für [mm] x-a\ge0).
[/mm]
> x <|a+e|<a+e>
>
> |x-a|<e [mm] \="" [/mm] -x="">
> |a|<e-x\ -e="">
> a-e<x>
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] a-e<x><a+e>
>
> Aber das ist vermutlich falsch, oder?
Sieht so aus, bzw. sah auch schon in Deinem Originalpost so aus.
Löse mal ordentlich die Betragsstriche durch entsprechende Fallunterscheidung auf.
Grüße
reverend
[mm]
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:53 Do 20.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Gabbabin,
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> > Zeigen Sie, dass für alle a,x,e [mm]\in \IR,[/mm] e >0 gilt
> >
> > |x-a| < e [mm]\gdw[/mm] a-e <x<a+e
> <x><a+e>>
> > Nun folgern Sie daraus [mm]U_{e}(a)[/mm] offenes Intvervall
> > (a-e,a+e
>
> Was soll man folgern? Ist die Aufgabe vollständig?
Hallo rev,
wahrscheinlich war es so: Gabbabin hat in der Vorlesung definiert bekommen:
[mm]U_{\varepsilon}(a)=\{x \in \IR: |x-a|< \varepsilon\}[/mm]
und soll nun folgern:
[mm]U_{\varepsilon}(a)=(a-\varepsilon,a+\varepsilon)[/mm]
Gruß FRED
>
> > Irgendwie stehe ich gerade voll auf em Schlauch
> > Ich dachte für [mm]\Rightarrow[/mm] |x-a| <e /+a<e +a="">
>
> Mal abgesehen davon, dass unser Editor hier Mist beim
> Zitieren produziert, verstehe ich überhaupt nicht, was Du
> da tust.
>
> Sind Dir die Betragsstriche aufgefallen? Du kannst da nicht
> einfach etwas hineinaddieren oder heraussubtrahieren oder
> die Betragsstriche weglassen, es sei denn, Du begründest,
> warum genau der Fall vorliegt, in dem sie wegfallen dürfen
> (nämlich für [mm]x-a\ge0).[/mm]
>
> > x <|a+e|<a+e>
> >
> > |x-a|<e [mm]\=""[/mm] -x="">
> > |a|<e-x\ -e="">
> > a-e<x>
> >
> > [mm]\Rightarrow[/mm] a-e<x><a+e>
> >
> > Aber das ist vermutlich falsch, oder?
>
> Sieht so aus, bzw. sah auch schon in Deinem Originalpost so
> aus.
> Löse mal ordentlich die Betragsstriche durch
> entsprechende Fallunterscheidung auf.
>
> Grüße
> reverend
> [mm][/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:13 Do 20.10.2011 | | Autor: | Gabbabin |
| Aufgabe | Zeigen Sie formal ganz präzise, dass für alle a, x, ε ∈ R, ε > 0 gilt
|x − a| < ε ⇐⇒ a − ε < x < a + ε
Folgern Sie daraus Uε(a) = ]a − ε, a + ε[ . |
Also Fall 1 wäre [mm] x-a\ge0
[/mm]
x-a<e /+a
x<e+a
Fall 2
wäre dann wohl x-a<0
Aber könnte ich dann nicht trotzdem einfach
x-a<e schreiben, da e ja als größer Null definiert ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:27 Do 20.10.2011 | | Autor: | fred97 |
Einfacher hast Du es, wenn Du zunächst zeigst: für u [mm] \in \IR [/mm] und [mm] \varepsilon>0 [/mm] gilt:
(*) $|u|< [mm] \varepsilon \gdw -\varepsilon
und das nachher auf u:=x-a anwendest.
Ich mach Dir mal ganz ausfühlich die Richtung [mm] "\Rightarrow" [/mm] in (*) vor:
Wir setzen also $|u|< [mm] \varepsilon$ [/mm] voraus.
Fall 1.: u [mm] \ge [/mm] 0. Dann ist
(1) $u=|u|< [mm] \varepsilon$ [/mm]
Da [mm] -\varepsilon [/mm] < 0 ist gilt trivialerweise
(2) $ [mm] -\varepsilon [/mm] <u$
Aus (1) und (2) folgt: [mm] $-\varepsilon
Fall 2: u<0. Dann ist trivialerweise
(3) $u< [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Mit $-u=|u|< [mm] \varepsilon$ [/mm] folgt:
(4) [mm] $-\varepsilon
Aus (3) und (4) erhalten wir: [mm] $-\varepsilon
FRED
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Also für [mm] \Leftarrow [/mm] muss ich jetzt
a-e<x<a+e auseinander nehmen, also erst a-e<x betrachten und dann x<a+e betrachten.
Also
x<a+e Fall 1 a positiv
x-a<e
Ist das soweit richtig, ich weiß es fehlt noch was, aber bin ich auf der richtigen Spur?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:51 Fr 21.10.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
machs doch mit dem u wie fred , dann kann man deine Argumente leichter verfolgen. und schrei nicht einfach <= sondern sag, was du grad zeigen willst. Nicht jeder hat lust immer die ganze Diskussion zu lesen,
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Sa 22.10.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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