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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:46 So 15.05.2005 | | Autor: | Lambda |
Hi! Ich habe ein Problem mit dieser Aufgabe:
Aus einem 100 cm langen Stück Draht soll das Kantenmodell eines Prismas hergestellt werden, dessen Grundfläche ein gleichseitiges Dreieck ist. Für welche Abmessungen von a und b ist das Volumen des Prismas am größten?
Meine Hauptbedingung:
V= G * h
Frage: Wie soll ich die Nebenbedingung aufstellen damit ich V= maximal errechnen kann?
Wenn ich das gleichseitige Dreieck als Grundfläche errechnen möchte, fehlt mir jedoch die Höhe des dreiecks und ich habe immer noch zwei Unbekannte.
Kann mir bitte jemand weiterhelfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Gruß Lambda
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:53 So 15.05.2005 | | Autor: | Fugre |
> Hi! Ich habe ein Problem mit dieser Aufgabe:
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> Aus einem 100 cm langen Stück Draht soll das Kantenmodell
> eines Prismas hergestellt werden, dessen Grundfläche ein
> gleichseitiges Dreieck ist. Für welche Abmessungen von a
> und b ist das Volumen des Prismas am größten?
>
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> Meine Hauptbedingung:
>
> V= G * h
>
> Frage: Wie soll ich die Nebenbedingung aufstellen damit ich
> V= maximal errechnen kann?
> Wenn ich das gleichseitige Dreieck als Grundfläche
> errechnen möchte, fehlt mir jedoch die Höhe des dreiecks
> und ich habe immer noch zwei Unbekannte.
>
> Kann mir bitte jemand weiterhelfen?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Gruß Lambda
Hallo Lambda,
deine Hauptbedingung klingt sehr gut.
Halten wir sie kurz fest:
$V(G;h)=G*h$
Betrachten wir nun $G$, so wissen wir, dass es ein gleichseitiges
Dreieck ist und für solche Dreiecke gilt:
[mm] $A=\frac{a^2}{4}\wurzel{3}$
[/mm]
übertragen auf das Volumen erbigt dies:
[mm] $V(a;h)=\frac{a^2}{4}\wurzel{3}*h$
[/mm]
Nun denken wir über die Nebenbedingung nach:
Wir wissen, dass die Summe der Kantenlängen $1m$ ist,
also sollten wir uns überlegen, was die Summanden dieser
Addition sind. Wir haben zuerst $2$ Dreiecke, die einen Umfang
von je $3a$ haben und alle ihre Ecken sind senkrecht zur Grundfläche
mit je einer Ecke des anderen Dreiecks auf kürzestem Weg verbunden,
dieser Abstand entspricht $h$, welches gleich $b$ ist.
Für die Kantenlänge ergibt sich:
$2*3a+3b=1$
und das ist gleichzeitig Nebenbedingung.
Beachte bitte, dass wir jetzt in Metern rechnen, du müsstest bei Bedarf
wieder umrechnen.
Liebe Grüße
Fugre
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:55 So 15.05.2005 | | Autor: | Lambda |
Danke für deine Hilfe! Ich möchte nur fragen, ob diese Rechnung dann richtig ist:
V Prisma= G * h
Da als Grundfläche ein gleichseitiges Dreieck vorhanden ist, gilt für G= [mm] \bruch{a²}{4} [/mm] * [mm] \wurzel{3}
[/mm]
also:
V Prisma= [mm] \bruch{a²}{4} [/mm] * [mm] \wurzel{3} [/mm] *h
da h in diesem Fall gleich b ist, gilt für meine Hauptbedingung:
V Prisma= [mm] \bruch{a²}{4} [/mm] * [mm] \wurzel{3} [/mm] * b
Nebenbedingung:
100 cm= (2 * 3 *a) + 3 * b
dies löse ich nach a auf:
a= [mm] \bruch{100-3*b}{6}
[/mm]
dies setze ich dann in die Hauptbedingung ein:
V Prisma= [mm] ((\bruch{100-3*b}{6})/4 [/mm] * [mm] \wurzel{3} [/mm] * b
davon berchne ich die Ableitung und erhalte das Maximum.
V Prisma= 593,98 cm³
demnach ist a= 11,11 cm und b= 11,11 cm
Stimmt das, dass a und b gleich groß sind?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Gruß Lambda
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:04 So 15.05.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Lambda,
das Ergebnis [mm] $a=b=\frac{100}{9}\approx [/mm] 11,11$ (in cm) ist richtig. Eigentlich musst du noch überprüfen, ob es sich dabei wirklich um ein Maximum handelt. Du wirst ja sicherlich die hinreichenden Bedingungen für Maxima kennen. (Ich denke mal du hast auch das Minimum für $a=0$, [mm] $b=\frac{100}{3}$ [/mm] entdeckt, oder?)
Max
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