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Primzahlzählfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:03 Di 25.10.2011
Autor: Harris

Hi!

Also, es gilt für die Primzahlzählfunktion [mm] $\pi(x)$ [/mm] ja die Asymptotik

[mm] \pi(x)\sim\frac{x}{\log(x)}. [/mm]

Weiterhin habe ich gelesen, dass [mm] $\frac{x}{\log(x)}$ [/mm] die Primzahlzählfunktion generell unterschätzt, also [mm] $\pi(x)>\frac{x}{\log(x)}$. [/mm]

Warum ist das so? Weiß das wer? Wo findet man eine Begründung oder besser einen Beweis?

Gruß, Harris

        
Bezug
Primzahlzählfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:10 Di 25.10.2011
Autor: reverend

Hallo Harris,

> Also, es gilt für die Primzahlzählfunktion [mm]\pi(x)[/mm] ja die
> Asymptotik
>  
> [mm]\pi(x)\sim\frac{x}{\log(x)}.[/mm]
>  
> Weiterhin habe ich gelesen, dass [mm]\frac{x}{\log(x)}[/mm] die
> Primzahlzählfunktion generell unterschätzt, also
> [mm]\pi(x)>\frac{x}{\log(x)}[/mm].
>  
> Warum ist das so? Weiß das wer? Wo findet man eine
> Begründung oder besser einen Beweis?

Sollte in jedem besseren Lehrbuch stehen.
Der berühmteste davon steht hier:
Bernhard Riemann, Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe, in: Monatsberichte der Preußischen Akademie der Wissenschaften, Berlin, November 1859, Seite 671 ff

Grüße
reverend


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